Matematické Fórum

BakyX · 26. 09. 2010 14:31

Dobrý deň. Mám problém s nasledujúcou úlohou. Znie:

Je daná úsečka AB, priamka p rovnobežná s úsečkou AB. Nájdi množinu stredov kružnic vpísaných trojuholníku ABC, ak všetky body C ležia na priamke p.

Mikulas · 28. 09. 2010 20:34

Zdravím,
pokud se nepletu tak lze na přímce p zvolit nekonečný počet bodů C tak, aby byly body A, B a C vrcholy stejného trojúhelníka. Protože kružnici lze vepsat každému trojúhelníku, mělo by být těch středů nekonečno.

Olin · 28. 09. 2010 21:09

↑ BakyX:
Když jsem si zkoušel hýbat s bodem C v GeoGebře, tak vyšlo najevo, že asi nepůjde o nějakou jednoduchou množinu. Původní tip (půlelipsa) bohužel nevyšel.

BakyX · 28. 09. 2010 21:13

Hm..Pošleš obrázok ? (tak, aby bolo vidno čo najväčšiu časť tej množiny) Neviem, ako hýbať s bodmi v GeoGebre

teolog · 29. 09. 2010 01:29 — Editoval teolog (29. 09. 2010 01:46)

Pro zjednodušení jsem úsečku AB určil body [0,0] a [1,0] a rovnoběžnou přímku jsem nechal procházet bodem [0,1].
Potom hledaná množina středů vypadá podle mne takto:

Z rovnice se mi to nezdá jako nějaká pěkná známá křivka.
Během večera bych sem zkusil hodit i můj postup hledání včetně rovnice té křivky.

zdenek1

↑ BakyX:
Počítal jsem to stejně jako ↑ teolog:.

Bod $A[0;0]$ , $B[1;0]$ a bod $C$ na přímce $y=1$ , $C[t,1]$ , $t\in\mathbb R$

Střed kružnice vepsané je v průsečíku os úhlů.

přímka
$AB: y=0$
$AC:x-ty=0$
$BC: x+(1-t)y-1=0$

Máme-li přímky $p_1:a_1x+b_1y+c_1=0$ a $p_2:a_2x+b_2y+c_2=0$ , osy úhlů jsou
$o_{12}:\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\pm\sqrt{a_1^2+b_1^2}}\pm\frac{a_2x+b_2y+c_2}{\pm\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ (jsou dvě, správnou pro náš problém musíš vybrat vhodnou volbou znaménka)

Použitím tohodle vztahu dostaneme a správnou volbou znamének
$o_{\alpha}:y=(\sqrt{t^2+1}-t)x$ (1)
$o_{\beta}:y+\frac{x+(1-t)y-1}{\sqrt{1+(1-t)^2}}=0$ (2) (tady je potěšující, že výrazy pod odmocninami jsou kladné)

z (1) vyjádříme parametr $t=\frac{x^2-y^2}{2xy}$

dosadíme do (2) a upravujeme a upravujeme.....

vyšlo mi $(x+y)^2-x(2xy+1)=0$
úpravy ale nebyly vždy ekvivalentní, takže množina popsaná touto rovnicí je širší, než hledaná množina. Omezení: $x\in(0;1)\ \wedge\ y>0$

Výsledek je shodný s teologem.