Matematické Fórum

Deltoid je symetrický obrazec, jedna z jeho úhlopříček je součástí osy souměrnosti. Má-li být tento deltoid tětitový, pak existuje kružnice opsaná tumuto deltoidu. Jedna z úhlopříček je osou symetrie, proto zřejmě je i průměrem naší kružnice opsané. Řekněme, že na hraniční bodu tohoto průměru budou bez újmy na obecnosti body A, C. Body B, D musí také ležet na oné kružnici opsané (jinak by se nejednalo o TĚTIVOVÝ deltoid). Protože bod B tedy bude ležet na Thaletově kružnici sestrojené nad průměrem AC, pak trojúhelník ABC je pravoúhlý s přeponou AC.
Označme délku AB=x, dále BC=y. Známe-li obvod o, pak vlastně známe délku 2x + 2y, takže o/2 = x+y. Nyní uvažme střed kružnice vepsané deltoidu ABCD. Evidentně musí ležet na úhlopříčce AC. Na stranách AB, BC uvažme postupně body dotyku K, L této kružnice vepsané (jejiž střed označme S). Poloměr SK musí být kolmý na tečnu AB (jinak by se nejednalo o kružnici vepsanou), obdobně poloměr SL je kolmý na tečnu BC. Lze dále snadno dokázat, že trojúhelníky AKS, ABC, SLC jsou si podobné.
Označíme-li poloměr kružnice vepsané deltoidu ABCD jako r, pak musí platit pro zmíněné podobné trojúhelníky následující poměry stran: (x-r)/r = r/(y-r), což po úpravě vede na rovnost xy = r(x+y). Nicméně já vím, že x+y = o/2, takže znám i součin xy=r*(o/2). Znám-li součin xy a součet x+y, dostávám soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, která vede na jednoduchou kvadratickou rovnici, odkud získám postupně délky x, y. Kvadratické rovnice jsou řešitelné i pomocí pravítka a kružítka, takže mám jistotu, že existuje i konstukční cesta k nalezení délek x, y.
Délka x je délkou strany AB, zatímco délka y je délkou strany BC a tyto strany svírají pravý úhel. Takže stačí sestrojit pravoúhlý trojúhelník ABC a bod D sestrojit třeba ze symetrie bodu B podle osy AC.