Matematické Fórum

Pro začátek ti opět musím říct, že úloha není euklidovsky řešitelná.

Kam vlastně na takové oříškové konstrukce trojúhelníku chodíš?

Pro těžnici ke stranám a, b, a úhel gamma to šlo. Nakresli si těžnici tb = AT(a). V 1/3 této těžnice směrem od T(a) najdeš těžiště T. Stejně tak v bod T(b) je od bodu T vzdálen (1/3)*tb, takže máš kružnici k coby množinu všech bodů, kde může ležet bod T(b) (+). Dále víš, že úsečka AT(a) je vidět z bodu C pod úhlem gamma. Proto když si nakreslíš podle věty o shodnosti obvodových úhlů kružnici l, a ze všech bodů na této kružnici l bude těžnice AT(a) vidět pod úhlem gamma. No a dál když uvážíš stejnolehlost v bodě A a koeficientem 1/2, tak se bod C zobrazí na bod T(b). Bod C leží na kružnici l, takže obraz této kružnice v naší stejnolehlosti bude jiná kružnice m a bude na ní ležet bod T(b). Proto víme, že bod T(b) leží na kružnici m. Rovněž ale podle (+) leží i na kružnici k. Proto bod T(b) je průnikem kružnic k, m. Zbytek už je snadný - postupně dorýsuješ body B, C.

No, pokud jsi někdy dělala analytickou geometrii a vyšší algebru, tak bys to určitě pochopila. Víš, existují tzv. 3 klasické řecké úlohy - trisekce úhlu, zdvojení úhlu a kvadratura kruhu. Ani jedna z nich není řešitelná euklidovsky, a přitom třeba pro řešení úlohy "zdvojenní krychle" by stačilo sestrojit délku 2^(1/3), máš-li danou délku 1. Uvědom si, že jakkoliv složitá konstrukce pomocí pravítka a kružítka bude pouze posloupnost kreslení příímek a kružnic, nebo jejich částí. Každá kružnice a přímka má v ananytické geometrii svoji charakteristickou rovnici. Pomocí pravítka umíš dělat pouze toto: sečíst dvě délky, odečíst dvě délky, vynásobit dvě délky (je-li dána jednotka), vydělit dvě délky (je-li dána jednotka), odmocňovat nějakou délku (beru 2. odmocninu) a jakkoliv složité, ale konečně dlouhé kombinace minulých pěti kroků. Toto omezení je dáno právě charakterem kružnic a přímek v rovině a jejich rovnic. Třeba 3. odmocniny nemůžeš dostat nijak pomocí konečně mnoha zmíněných kroků, které umíš (sčítání, odčítání, násobení, dělení a 2. odmocniny). Podobně tvoje úloha asi vede na nějakou rovnici, jejíž kořen je něco, co pomocí těchto kroků nemůžeš nijak dostat, ať už tyto kroky zkombinuješ jakkoliv složitě. Toť vše.

Samozřejmě že vždy existují takové parametry, že ti tam nevyjdou žádná nesestrojitelná čísla. Jenže stejně to už není řešení pomocí pravítka a kružítka, protože ty v podstatě musíš počítat, abys věděla, jak velké délky máš vzít. Když ale máš obecnou konstrukci, tak vlastně už nic počítat nemusíš, prostě jen rýsuješ. V opačném případě stejně musíš počítat, aby jsi zjistila, že se jedná o něco, co umíš sestrojit. Aspoň takhle nějak to chápu já. (-:

jj, sry. Omlouvám se..... (-: