Matematické Fórum

martasdx

Zdravím, protože jsem prolezl snad všechno co se dalo a stejně to nepochopil, tak píšu...

Potřeboval bych spočítat chybu ve výpočtu sin x = x − x^3 / 6 pro -1/2 <= x <= 1/2

Tayloruv polynom chápu.

Druhá věc je:

Pro jaka x je absolutnı hodnota chyby priblizneho vyjadrenı cos x =~ 1− x^2/2 mensi nez 10^-4 ?

Předem díky

Rumburak · 15. 11. 2010 09:52

O odhadu chyby při aproximaci funkce Taylorovým polynomem pojednává Taylorova věta, odstavec o ní lze najít třeba zde .
V praxi půjde o to zvolit vzorec (Lagrangeův, Cauchyův, ...) pro tvar zbytku a použít ho k výpočtu odhadu.

martasdx · 15. 11. 2010 10:08

↑ Rumburak:
Tohle jsem prošel asi 3x, ale stále nevím jak to spočítat. jde o Langrandeův tvar

Rumburak

Použití zbytku si ukážeme na té první úloze

(1) f(x) = sin x ~ x − x^3 / 6 pro -1/2 <= x <= 1/2 :

Vzhledem k tomu, že v Maclaurenově rozvoji sinu jsou členy se sudými exponenty u x rovny nule, lze na rozvoj (1) pohlížet tak, že člen s x^4
je v něm ještě přítomen, a proto můžeme vzít n = 4 (což je výhodnější, než by bylo n= 3) .

Číslo c figurující v Lagr. tvaru leží mezi x a středem rozvoje (což je 0) , proto |x-c| < 1/2 . Takže dostaneme

$|R_5(x)| = \|\frac{f^{$5$}(c)\cdot(x-c)^5}{5!}\| = \|\frac {\cos\,c\,\cdot\,(x-c)^5}{5!}\|=\frac {|\cos\,c\|\cdot\,|x-c|^5}{5!}\,<\,\frac {1\cdot\,$\frac{1}{2}$^5}{5!}= \frac {1}{2^5\cdot 5!}$ .

Chyba v rozvoji (1) je tedy menší než $\frac {1}{2^5\cdot 5!}$ .

EDIT: Teď vidím, že jsem smíchal Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku. Správný výpočet pro Lagr. tvar měl být

$|R_5(x)| = \|\frac{f^{$5$}(c)\cdot(x-0)^5}{5!}\| = \|\frac {\cos\,c\,\cdot\,(x-0)^5}{5!}\|=\frac {|\cos\,c\|\cdot\,|x|^5}{5!}\,<\,\frac {1\cdot\,$\frac{1}{2}$^5}{5!}= \frac {1}{2^5\cdot 5!}$ .

Za tuto svoji roztržitost se omlouvám.

martasdx · 22. 11. 2010 14:03

Díky moc :)

Matematické Fórum

#1 15. 11. 2010 01:14 — Editoval martasdx (15. 11. 2010 01:18)

Taylorův polynom - odhad chyby

#2 15. 11. 2010 09:52

Re: Taylorův polynom - odhad chyby

#3 15. 11. 2010 10:08

Re: Taylorův polynom - odhad chyby

#4 15. 11. 2010 11:09 — Editoval Rumburak (15. 11. 2010 15:49)

Re: Taylorův polynom - odhad chyby

#5 22. 11. 2010 14:03

Re: Taylorův polynom - odhad chyby

Zápatí