Matematické Fórum

napisi pouze nastin reseni
- levou a pravou stranu zapisu f(x) zlogaritmuji prirozenym logaritmem ln
ln (f(x)) = ln((x/5)^x), trochu to upravim podle pravidel pocitani s logaritmy


ln (f(x)) = x *ln((x/5) = x*lnx - x*ln5 ted budu derivovat levou a pravou stranu zapisu
nalevo je derivace slozene funkce, napravo derivace rozdilu, ve kterem je jeste schovan "schovan" soucin
dostanu
(f´(x))/(f(x)) = (x*lnx - x*ln5)´  (pravou stranu zderivuji a upravim) a z toho vyjadrim f´(x)


f´(x) = (x*lnx - x*ln5)´ * (f(x))  na misto f(x) dam jeji zadani  ln((x/5)^x)

Je mi lito, ale na podrobny vypocet ted nemam cas, snad to vylustis podle postupu, jinak az vecer :-)

Možná jednodušší je popsat postup takto:
a) . Nyní to zderivujeme jako normální složenou funkci:



b) a opět normálně zderivujeme.

Nelze neco logaritmovat a pouzivat pravidla pro logaritmovani, pokud nevime, ze objekt, jez chceme logaritmovat nabyva na uvazovane mnozine kladne hodnoty. Tudiz spravne mi pripada reseni pomoci vztahu pro definici mocniny pomoci funkce exp(x) a log(x). Z teto definice se pak da jiste odvodit to, co zname vsichni pod pojmem pravidlo o logaritmicke derivaci.

Je to mozna pouze formalita, ale je treba to brat v uvahu. Nepochybne temito formalnimi upravami s logaritmem v tomto pripade obdrzime spravny vysledek.


Marian

Pro jelenu:

Skoro jsem se jednou pohadal s jednim doktorandem pracujicim v oblasti globalni analyzy, ze jeho postupy nejsou korektni, pokud pouziva logaritmickou derivaci v tom smyslu, ze logaritmuje "rovnici" definujici funkcni predpis a pouziva dale pravidlo o derivaci slozene funkce. Jednou jsem na nemeckem matematickem foru www.mathscripts.de pocital podobnym zpusobem limitu a vytkli mi kolegove z Nemecka, ze nemam pravo logaritmovat neco za predpokladu, ze pracujeme s realnymi funkcemi, aniz bych overil kladnost logaritmovaneho vyrazu. Nicmene jsem je uklidnil, ze sjednam napravu a dosti zdlouhave a netrivialne jsem dokazoval pozitivnost jiste tridy funkci. Teprve pak mi to proslo.

Ja osobne volim asi radeji postup zakladajici se na definici mocniny "a na b", kde "a" je kladne. Pokud se provedou nektere vhodne didakticke kroky pri vyuce tohoto jevu (at jiz na SŠ nebo VŠ), pak si myslim, ze vypocty jsou jednoduche. Staci si vzit funkci (a ver mi, ze dela problem ji zderivovat i doktorandum)

,

popripade jeste komplikovanejsi funkce (maji-li smysl, nesledujici pripady jsem neoveroval), treba

.

Postup s definici vyrazu a^b mi pripada v techto pripadech jednodussi.

Mila Sandro CH, promin, prosim, ale musim si neco ujasnit

jelena napsal(a):

napisi pouze nastin reseni

ln (f(x)) = ln((x/5)^x)

ln (f(x)) = x *ln((x/5) = x*lnx - x*ln5

(f´(x))/(f(x)) = (x*lnx - x*ln5)´ 

f´(x) = (x*lnx - x*ln5)´ * (f(x))

Obecny zapis pro pouziti logaritmickeho derivovavi zni takto :

f´(x) = (ln (f (x))´ * (f(x)). postup lze pouzit za predpokladu f (x) > 0

Konkretni priklad odvozeni jsem uvedla ve sve predchozi zprave.

Resim Marianuv priklad:

f(x) = x^(x^x) predkladem je, ze x > 0

f´(x) = (ln (f (x))´ * (f(x)) = (ln ((x^(x^x))´ * (f(x)) =

((x^x)*ln ((x))´ * (f(x))

Umi doktorand derivovat soucin ((x^x)*ln ((x))´ nebo to je take problem?

- derivace vyrazu (x^x) bude podle stejne metodiky, jako to bylo popsano.

Napiste, kolegove, v cem delam chybu (jeste jednou zduraznuji, ze podminky pouziti pravidla musi byt dodrzeny)?

A vubec se nechci hadat, opravdu ne a v zadnem pripade :-) a srdecne vas zdravim

Opravila jsem chybu, spatne jsem umistila zavorky :-)

Mela jsem chybu pre prepisu a umisteni zavorek, uz je to opraveno :-)

x^(x^x) neni totez jako (x^x)^x , naprosty souhlas

x^(x^x) je tento prepis spravny, myslim, ze uz ano ?

Sandra CH napsal(a):

Užitím vztahu a^b = e^b*lna  nebo užitím logaritmické derivace vypočtěte derivace funkcí v bodě x = c

a) f(x) = ((x)/(5))^x; c = 5

b) g(x) = 5 * (sin x)^sinx; c = (pí)/(2)

obávám se, že pochopit derivování bez pořádného výklady pro mě není možné. Proto všechny příklady s derivací, u kterých jste mi naznačili postup, mám stále nevypočítané

Pokusim se shrnout dosavdni snahy pomoci Sandre Ch a vysledky metodicke debaty, za kterou dekuji Marianovi :-).

1. Vsechny priklady s derivaci - jak resit? - Sandro, oznac prosim, v kterem okamziku prestava byt jasno, na to se zamerim podrobne:

a) prepokladam, ze mas prostudovany nejaky uvodni teoreticky material k tematu "Derivace",
b) nekde na uvod tohoto materialu byva ukazka nebo i cviceni vypoctu derivace podle definice (o limite podilu prirustku hodnoty funkce k prirustku x) - toho se obvykle moc necvici, ale jsou zde vypocteny derivace elementarnich funkci
c) znas a umis pouzit tabulku derivaci elementarnich funkci?
d) znas pravidla pro vypocet soucinu funkce s konstantou, souctu, soucinu, podilu funkci?
e) umis poznat slozenou funkci a znas postup vypoctu derivace slozene funkce?
f) umis kombinovat pravidla c) az e) - vypocitala jsi uz nejakou derivaci samostatne az do konce (nebo vzdy to byl problem, jak pises)?
Pokud na otazky a) az f) odpovidas kladne, pristoupim k "logaritmickemu derivovani", jinak jeste jednou si, prosim, nech vysvetlit bud tady nebo od nekoho z okoli nejasny bod.

Obecne uziti vztahu a^b = e^(b*lna)  nebo užití logaritmické derivace (budeme tomu tak rikat :-) se pouzije tehdy, kdyz je jednodussi derivovat ln (f(x)) nez samotnou f(x). Pozname to tak, ze f(x) se ve skutecnosti sklada se zakladu mocniny, ve kterem je e x v nejakem zapisu a exponenty (mocniny), kde je take x. Podminka f(x) vetsi 0 povinna

a) f(x) = (x/5)^x tady je to pekne videt :-) a podle tveho zadani a= (x/5), b= x

ted provedeme pouze prepis  do tveho vztahu 

a^b = e^(b*lna)     (x/5)^x = e^(x*ln(x/5)) a budeme derivovat novy zapis funkce:

(e^(x*ln(x/5)))´  toto je funkce slozena,

vnejsi funkce e^(g (x)) , vnitrni funkce g (x) = x*ln(x/5)

vysledkem derivace slozene funkce je soucin derivace vnejsi funkce krat derivace vnitrni funkce - toto muze byt problemovy okamzik :-)

(e^(x*ln(x/5)))´ = (e^(x*ln(x/5))) * (x*ln(x/5))´

= (e^(x*ln(x/5))) * (1*ln(x/5) + x* (5/x) * 1/5) ted jen trochu upravim zavorky

= (e^(x*ln(x/5))) * (ln(x/5) + 1)

ted misto (e^(x*ln(x/5))) = (x/5)^x je to jako navrat toho zapisu, co bylo na zacatku

= ((x/5)^x) * (ln(x/5) + 1)  je to stejny vysledek, jak ma kolega Kondr :-)

b) g(x) = 5 * (sin x)^sinx  a podle tveho zadani a= sin x, b= sin x
5 zatim nebudu resit, jelikoz je to nasobeni s konstatntou, tak to pouze doplnim jako nasobek do zaverecneho vysledku

ted provedeme pouze prepis  do tveho vztahu 

a^b = e^((sin x)*ln(sin x))     (sin x)^sinx = e^((sin x)*ln(sin x))  a budeme derivovat novy zapis funkce:

(e^((sin x)*ln(sin x)))´  toto je funkce slozena,

vnejsi funkce e^(g (x)) , vnitrni funkce g (x) = (sin x)*ln(sin x)

vysledkem derivace slozene funkce je soucin derivace vnejsi funkce krat derivace vnitrni funkce

(e^((sin x)*ln(sin x)))´ = e^((sin x)*ln(sin x)) * ( (sin x)*ln(sin x))´

= e^((sin x)*ln(sin x)) (cos (x) *ln(sin x) + sin x *(1/ (sin (x)) * cos x)

=   e^((sin x)*ln(sin x)) (cos (x) *ln(sin x) + cos x) 

= e^((sin x)*ln(sin x)) *cos (x) *(ln(sin x) + 1) vratim puvodni zapis   

((sin x)^sinx) * cos (x) *(ln(sin x) + 1)

5 * (sin x)^sinx = 5* (sin x)^sinx * cos (x) *(ln(sin x) + 1)

Pokud jsi docetla az sem, smekam :-)

Celkem jsem se pousmal nad vyrazem, ktery jsi pouzila, totiz mam na mysli to "lepeni", resp. "odlepovani". Je pravdou, ze pouziti definice mocniny s logaritmem a exponencialni funkci se muze jevit nekomu jako "lepeni". Nicmene pripada mi to elementarnejsi. Na druhou stranu z vlastni zkusenosti vim, ze studenti mivaji dosti casto dotaz, proc logaritmovat funkcni predpis y=f(x). Proc s tim neprovest neco jineho takoveho, aby to vedlo take k vysledku? Prave pak pouziti definice mocniny se muze jevit jako velice realny prostredek k vysvetleni metody logaritmickeho derivovani.

Tebou uvedeny pojem "lepeni" pak beru spise s nadsazkou, nebot vetsina dukazu je doslova lepeni. Staci si vzit treba Riemannovu vetu o prerovnani nekonecne rady. Jedna se doslova o lepeni. Podobne v algebre vety o homomorfismech a izomorfismech, potazmo o faktorovych strukturach a dalsi veci s timto souvisejici. A mohli bychom pokracovat dale.

Protoze nechci shazovat ani jednu metodu, mohu pouze nezavisle tvrdit, ze obe maji sve prednosti.

Dale nechci, at se tato diskuze odviji smerem k formalismu a tudiz bych nechal prostor ostatnim, kteri tuto diskuzi sleduji at jiz jako odbornici nebo studenti se svymi nejasnostmi pri cviceni v derivovani realnych funkci realne promenne. Kdybych mel dost casu, tak si sednu k TeXu a dam dohromady nejaky material. Bohuzel opak je pravdou. Vse, co jsem mel potrebu sdelit k temto vecem jsem patrne vycerpal.

Mym cilem bylo ukazat, ze je zapotrebi dat pozor na nekolik veci, mezi nez bezpochyby patri definice mocniny, vlastnosti logaritmu, a vyhody, resp. nevyhody obou metod derivovani. Upozornuju vsak, ze modre zaramovany vzorec dava hned vysledek. Proto bude vhodnejsi pro nekoho, koho matematika az tak nezajima a potrebuje okamzite znat vysledek a nikoliv postup. Pokud nekoho zajima postup, pak si jiste najde cas k tomu, aby dokazal nastudovat nektere veci i hloubeji, popr. reflektoval zde svoje nejasnosti. Myslim, ze toto forum prave takovemuto ucelu velmi dobre slouzi.


Marian