Matematické Fórum

jendula11

Zdravím moc prosím o radu jak rozvinout danou funkci na laurentovu řadu

$\frac{1}{z(z-2)}=\frac{-1}{2}\frac{1}{z}+\frac{1}{2}\frac{1}{z-2}$ , při podmínce $1<(z-2)<2$ , obecnou tehniku znám, jen nevím jak s tímto mezikružím. Děkuji.

Pavel Brožek

↑ jendula11:

Patrně má být v nerovnostech absolutní hodnota $1<|z-2|<2$ . Středem mezikruží je tak bod z=2. Kdyby sis zavedl novou proměnnou $t=z-2$ , tak v ní bys dokázal funkci $\frac1{(t+2)t}$ rozvinout na mezikruží $1<|t|<2$ ?

Rumburak

Do Laurentovy řady rozvíjíme holomorfní funkci obvykle tak, aby středem rozvoje byl některý její singulární bod, má-li takové.
Zde máme dva, a sice 0 a 2 , jeden si vybereme, např. ten a=2. Rozklad

(1) $\frac{1}{z(z-2)}=\frac{-1}{2}\cdot\frac{1}{z}\,+\,\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z-2}$

se nám bude hodit, jeho druhý člen už je ve tvaru člena Laur. rozvoje o středu v bodě 2 a nemusíme ho nijak upravovat, ve finální fázi
ho pouze přičteme k Taylorovu rozvoji (se středem v bodě a=2) prvého členu z rozkladu (1), který získáme pomocí rozvoje do geom. řady
následovně:

(2) $\frac{1}{z} = \frac{1}{2\, -\,(2-z)} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1 \,-\,\frac{-1}{2}(z-2)}\,=\,\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}$\frac{-1}{2}(z-2)$^n$ .

Její poloměr konveregence je 2 , jak snadno zjistíme. Z (1) a (2) pak poskládáme Laur. řadu dané funkce.

EDIT. Mezikružím konvergence tedy bude $\{\,z \in \mathb{C}\,;\, 0 <|z-2|<2\}$ .

janicek11 · 01. 12. 2010 17:17

↑ Rumburak:

Děkuji za pomoc, jen jsem se chtěl zeptat, mám nesrovnalost: v tvém příspěvku je $\{\,z \in \mathb{C}\,;\, 0 <|z-2|<2\}$ , ale v zadání je $1<|z-2|<2$ . Tak nevím zda by se to nemělo ještě pořešit.
Děkuji

Pavel Brožek · 01. 12. 2010 17:50

↑ janicek11:

Není problém se omezit na mezikruží, které je součástí nějakého většího.

janicek11 · 01. 12. 2010 18:02

↑ BrozekP:
Ok děkuji

Matematické Fórum

#1 01. 12. 2010 13:57 — Editoval jendula11 (01. 12. 2010 14:00)

Laurentova řada

#2 01. 12. 2010 14:33 — Editoval BrozekP (01. 12. 2010 14:33)

Re: Laurentova řada

#3 01. 12. 2010 15:09 — Editoval Rumburak (01. 12. 2010 16:22)

Re: Laurentova řada

#4 01. 12. 2010 17:17

Re: Laurentova řada

#5 01. 12. 2010 17:50

Re: Laurentova řada

#6 01. 12. 2010 18:02

Re: Laurentova řada

Zápatí