Matematické Fórum

Kurzweilův integrál neznám, ale o Perronově int. (který je rozšířením int. Newtonova) vím to, že absolutně konvergentní není,
takže nemůže být "plně pokryt" integrálem absolutně konvergentním.

Ale možná že jsem špatně porozuměl dotazu.

↑ jarrro:
Čili jde Ti o možnost rozšíření Perronova integrálu.  Zda nějaké takové rozšíření je možné nebo snad  dokonce již existuje, to nevím
(má to snad být Henstock-Kurzweilův (H-K) ntegrál ? abych na to přišel sám, musel bych obě teorie prostudovat celkem podrobně).

Předpokládejme, že lze zavést "novou" definici integrálu, která by byla rozšířením Perronovy definice. Integrál, který je rozšířením Perronova,
nazvěme X-integrálem.  Z Tvého prvního příspěvku jsem nabyl dojmu, že Tě zajímá otázka, zda by šlo vybudovat X-integrál tak, aby byl
absolutně konvergentní .  Odpověď zní: Nešlo, protože už speciální případ X-integrálu - Perronův integrál - absolutně konvergentní není.
Takže stačilo by vzít příklad, kdy Perronův integrál není abs. konvergentní,  a měli bychom příklad neabsolutně konvergentního X-integrálu.

Tutéž otázku je možno si položit pro hypotetický Y-integrál, který by byl rozšířením H-K integrálu. V tom odkazovaném článku se píše,
že ani H-K integrál není absolutně konvergentní, takže situace je obdobná jako u X-integrálu.

Na ostatní vznesené dotazy by to chtělo nějakého specialistu, který se tím přímo zabývá - nejlépe např. sám prof. Kurzweil - ten ale,
obávám se, není členem tohoto fora :-) .

↑ jarrro:

Možno ťa zaujme toto video.

↑ Rumburak:ale P|g| je nekonečný a čo keď nová definícia definuje  X|g| ako nejakú konečnú hodnotu? myslel som zhodu len ak je konečne perronovsky integrovateľná

↑ Rumburak:máš pravdu to ma nenapadlo a ako je to teda s tou definíciou keby sa  rozšíril Lebesguov integrál tak,že by
sa použila kalibračná funkcia a miera vzorov ako pri Lebesguovom integráli?

↑ jarrro:
Tak to momentálě netuším, musel bych si to pořádně prostudovat.
Kdyby mě něco napadlo,  ozvu se, ale v nejbližší době to určitě nebude.


Včera jsem pak už pospíchal, takže jsem své náznaky nestihl podat podrobněji, snad to dnes napravím.
Ony "rozumné důvody", o nichž se píše v příspěvku  ↑ Rumburak:, spočívají např. v tom, že pomocí inegrálů chceme počítat obsahy
geometrických obrazců.  Výpočet P|g| = +oo říká, že obsah obrazce omezeený osou x a grafem funkce |g| na daném intervalu
má neomezeně velký obsah,  což např. u výše zmíněné funkce g(x) = (sin x) / x  na intervalu (pi, +oo) lze odvodit i bez integrálního
počtu - pomocí elementárních geometrických odhadů:   do každé "lunety" omezené obloukem grafu funkce |g| nad intervalem 
(n*pi,   n*pi  + pi)  vepíšeme rovnoramenný trojúhelník, jehož základnou bude tento interval,  odpovídající výška bude rovna 
1 / (n*pi + (pi/2)) .  Součet obsahů všech takových trojúhelníků dává řadu divergující k +oo .  Pokud by hledaný X-integrál tuto
skutečnost nerespektoval, pak by se pro takovéto geometrické výpočty nehodil.

↑ maly_kaja_hajnejch-Lazov:
Děkuji za tuto milou zprávu. Jak vidím, v Moravském krasu máte nejen alespoň jednoho medvěda, ale dokonce i nejméně jednu lvici. :-)

Nejsem v žádném případě a ohledu odborníkem na teorii integrálu. Nicméně jsem si svého času pořídil ke studiu (a bohužel nedostudoval) velmi zajímavou knihu. Tato by mohla pravděpodobně odpovědět na otázky zde probírané. Prosím, podívejte se v případě zájmu do učebnice

Theories of Integration - The Integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and MacShane

od autorů Douglas S. Kurtz, Charles W. Swartz. Učebnice byla publikována v nakladatelství World Scientific v roce 2004. V případě zájmu koukněte sem (mód slow downl.).

Snad informace pomohou.

ahoj sorry, že sa vraciam do tak starej témy, ale ako by to bolo v prípade, že sa obmedzíme len na ohraničené funkcie na ohraničenom intervale ? Potom by myslím podobná situácia ako píše Rumburak nastať nemohla a absolútnu konvergenciu by narušila len nedefinovaná hodnota nejakého integrálu a nie jeho nekonečnosť