Matematické Fórum

Rumburak

Abych také něčím přispěl:

Uvažujme $m \,\in \,\{\,1,\,2, \,...\,\}$ a prostor ${\mathb {R}}^m$ se standardní eukleidovskou metrikou $\rho$ a m-rozměrnou Lebesgueovou mírou $\mu$ .
Mějme množinu $K\,\subset \,{\mathb {R}}^m$ kompaktní v ${\mathb {R}}^m$ , funkci $f\,:\,K\longrightarrow \mathb{R}$ spojitou v $K$ a bod $c\,\in\, K$ splňující

(1) $f(c) \,=\,\min_{x\in K} f(x)$ ,

(2) $\forall_{x\in K}$x\ne c \, \Rightarrow \,f(x)>f(c)$$ ,

(3) $\forall_{r>0}\,\mu $K \,\cap \,U_r(c)$ \,>\, 0$ , kde $U_r(c) \,=\, \{\,x\in{\mathb {R}}^m\,;\, \rho(c,x)\,<\, r \,\}$ .

Určete (se zdůvodněním) limity

(*) $L_j \,=\,\lim_{\lambda \to -\infty}\,\frac{\int_K\, x_j \,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}{\int_K\,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}$ , $j\in \{\,1,\,...,\,m\}$ ,

kde $x_j$ je j-tá souřadnice bodu $x\in{\mathb {R}}^m$ , integrály jsou m-rozměrné Lebesgueovy, $\mathrm{d}x$ je zkratka pro $\mathrm{d}x_1 ...\mathrm{d}x_m$ .

Snazší verse úlohy:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT: Dodatečně si uvědomuji, že předpoklad (1) je zbytečný (vyplývá z předpokladu (2)), ale už to tak nechám.

Pavel · 10. 02. 2015 11:17

↑ Rumburak:

Ten zlomek za limitou mi vzdáleně připomíná střední hodnotu n-rozměrného náhodného vektoru, kde

$\frac{\mathrm{e}^{\lambda f(x)}}{\int_K\,\mathrm{e}^{\lambda f(x)}\, \mathrm{d}x}$

je sdružená hustota pravděpodobnosti. Možná by bylo k řešení této úlohy použít aparát teorie pravděpodobnosti a statistiky.

Je to jen taková vágní úvaha - připomíná mi to vzdáleně mocninné průměry

$\left(\frac{x_1^m+\dost x_n^m}{n}\right)^{\frac 1m}$

(samozřejmě v diskrétním případě), kde jeden z limitních případů (pro $m\to-\infty$ ) vede na minimum z jednotlivých členů $x_1,\dots,x_n$ , což je obdoba řešení v nápovědě.

Možná je vše úplně jinak a jde jen o zdání.

Rumburak · 10. 02. 2015 11:33

↑ Pavel:

Ahoj.

Jsem rád, že ta úloha konečně někoho zaujala. :-) Teorii pravděpodobnosti moc do hloubky neumím, řešil jsem to
pomocí obecných prostředků analýzy.

Matematické Fórum

#1 20. 12. 2010 17:08 — Editoval Rumburak (21. 12. 2010 14:23)

Zajímavá limita

#2 10. 02. 2015 11:17

Re: Zajímavá limita

#3 10. 02. 2015 11:33

Re: Zajímavá limita

Zápatí