Matematické Fórum

Skrytý text:

Hned první, čeho si člověk všimne je, že se ve jmenovatelích vystřídají všechna kombinační čísla z jedné řádky pascalova trojúhelníka (vyjma těch "na okraji" - nezačíná to nulou, ale jedničkou, nekončí to 2n, ale 2n-1). Tudíž by se to tam mohlo nějak hezky "odečíst".

pro n=1 to má hodnotu jen 1/(Binomial(2,1)), což je 1/2
pro n=2 to má hodnotu 1/(Binomial(4,1)) - 1/(Binomial(4,2)) + 1/(Binomial(4,3)), což je 1/3
pro n=3 to má hodnotu 1/(Binomial(6,1)) - 1/(Binomial(6,2)) + 1/(Binomial(6,3)) - 1/(Binomial(6,4)) + 1/(Binomial(6,5))
, což je 1/4
(hmm to vypadá slibně, ještě pro kontrolu u čtyřky)
pro n=4 to má hodnotu 1/(Binomial(8,1)) - 1/(Binomial(8,2)) + 1/(Binomial(8,3)) - 1/(Binomial(8,4)) + 1/(Binomial(8,5)) - 1/(Binomial(8,6)) + 1/(Binomial(8,7)), což je 1/5

Dovolím si tedy tvrdit, že pro n z kladných celých čísel ten vzorec bude 1/(n+1)

Skrytý text:

Asi si nerozumíme, já jsem to všeobecné řešení "okoukal" z těch konkrétních dosazení.
Pro n=5 to je zase
1/(Binomial(10,1))-1/(Binomial(10,2))+1/(Binomial(10,3))-1/(Binomial(10,4))+1/(Binomial(10,5))-1/(Binomial(10,6))+1/(Binomial(10,7))-1/(Binomial(10,8))+1/(Binomial(10,9))
, což dá jednu šestinu.
Skoro na 100% to bude mít tento rozvoj pro ostatní členy. Stojím si za svým vzorcem pro přirozená (bez nuly) n je to 1/(n+1)

Zapomněl jsem ještě na necelá n - konkrétně ty, které se dají zapsat jako , kde k je kladné celé číslo. V tomto případě se to podle pascalova trojúhelníka opravdu ty "souměrné" prvky odečtou a výsledek je nula.


Shrnutí:
(k je kladné celé číslo)
pro n=k+0.5 je výsledek 0
pro n=k je výsledek 1/(n+1)


To je již všeobecné řešení, kde jsem pochytal všechny případy.

Skrytý text:
Snáze to lze také napsat takto:
pro  2n liché je hodnota výrazu 0
pro 2n sudé je hodnota výrazu 1/(n+1)

Skrytý text:
Aha, takže jsem to měl správně :) Jinak uznávám, že můj postup nebyl tak korektní.