Matematické Fórum

Skrytý text:
Jde o cyklickou soustavu, proto by řešením mohlo být x=y=z. Zkusíme proto:



vyřešíme kubickou rovnici



Zkouška kořeny potvrdila, máme tedy 2 kořeny {[2;2;2],[-1;-1;-1]}

Zkusíme dál upravit:




Tady jsem se zasekl, zkoušel jsem dosadit za některé součty na pravé straně rovnice jiné výrazy, vyplývající z předchozích úprav, ale nějak to nevycházelo. Když jsem se s tím už počítal, tak zde postnu alespoň ty první dvě řešení a počkám na řešení někoho jiného ;)

Skrytý text:
Odečteme 2.rovnice od 1. a 3. od 2. a dostaneme:


Není těžké dokázat, že výrazy a jsou kladné (např. AG)
Soustava rovnic je cyclická vůči x,y,z, aproto můžeme předpokládat, že x je největší
Pak levá strana rovnice (*) bude nezáporná, tzn. , ale jsme předpokládali, že x je největší, aproto musí platit .
Dále z rovnice (**) odvodíme, že x,y,z jsou stejná a pak to pokračuje jako v příspěvku od  TomDlask.