Matematické Fórum

Jozy · 31. 12. 2010 02:24

Ahoj, mohli by ste mi poradit s řešením těchto dvou limit?

a) $\lim_{x \to 1} {{x^{n}-1-n \cdot (x-1)} \over {(x-1)^2}}$ přičemž $n \in N$

$\lim_{x \to 1} {{x^{n}-1-n \cdot (x-1)} \over {(x-1)^2}}=\lim_{x \to 1} {{(x-1) \cdot (x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\ldots+1)-n \cdot (x-1)} \over {(x-1)^2}}=\lim_{x \to 1} {{x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+\ldots+1-n} \over {x-1}$
Co dál?

b) $\lim_{x \to 1} {(1-x) \cdot tg {{\pi x} \over {2}}$
Tady nevím ani začít, nějak mi poraďte se začátkem a snad to nějak udělám.

Dík moc.

PeetPb · 31. 12. 2010 02:50 — Editoval PeetPb (31. 12. 2010 03:01)

↑ Jozy: zdravim , k tomu prvemu $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^n-1-n(x-1)}{(x-1)^2}$ pouzijeme l'hospitalovo pravidlo 2x a mali by sme dostat ze $\lim_{x\rightarrow1}\frac{(n^2-n)x^{n-2}}{2}=\frac{n^2-n}{2}$ teda dufam ze som sa takto pozde vecer alebo skor skoro rano nepomylil

Jozy · 01. 01. 2011 17:26 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 17:27)

↑ PeetPb:
Hm nevím jestli sme to L'Hospitalovo pravidlo už brali, protože jsem 2 týdny před prázdninami chyběl, ale snad jo. Já sem si ho našel na wiki. Nějakým jiným způsobem by to asi nešlo, že?

Jo, a ta druhá úloha?

halogan · 01. 01. 2011 17:52

↑ Jozy:

Nástřel: zkus to $n$ rozepsat jako $-1 -1 -1 -1 \dots$ a popárovat to s těma mocninama. Pak by se dalo nejspíš opět vytknout (x-1).

Jozy · 01. 01. 2011 20:26 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 20:27)

Kamarád mi k tomu druhému příkladu poslal postup, ale ten přestávám chápat v posledním řádku, jak udělal ze zlomku (pi*t/2)/(sin pi*t/2) jedničku?

lim x->1 (1-x)*tg (pi*x/2)

substituce, |1-x = t, t-> 0|

lim t->0 t*sin(pi/2 - pi*t/2)/cos(pi/2 – pi*t/2)

lim t->0 (t*cos(pi*t/2)*(pi/2))/(sin(pi*t/2)*(pi/2))

lim t->0 cos(pi*t/2) * (pi*t/2)/(sin pi*t/2) * 1/(pi/2) = 1*1*2/pi = 2/pi

PeetPb · 01. 01. 2011 20:37

↑ Jozy: tak L'hospitalovo pravidlo sa s najvacsou pravdepodobnostou na strednej skole neucili ... k tomu je potrebne vediet derivovat ucili ste sa derivacie ?

Jozy · 01. 01. 2011 20:45 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 20:47)

↑ PeetPb:
Jednoduché derivace ano, třeba f=x^3-nx-5; f'= 3x^2-n.

Já tomu postupu s L'Hospitalovým pravidlem absolutně chápu.

PeetPb · 01. 01. 2011 20:54

↑ Jozy: tak to je zaujimave aj ked trochu odbacame od temy ... ale nemyslim len postup derivovania ale aj co to derivacia je ako ju spocitat a kde ju vyuzit ? na aku strednu chodis ?

LukasM · 01. 01. 2011 21:03

↑ Jozy:
Jen k tomu jak se z toho zlomku stala jednička..
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{sin{x}}{x}=1$

Jozy · 01. 01. 2011 21:11 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 21:14)

↑ PeetPb:
To jsme brali už minulý rok, nepamatuju si to tak dokonale. Vzpomínám si, že jsme ji využívali při elementárních funkcích a jejích grafech - např. při určování směrnice dotyčnice v nějakém bodu grafu. Chodím na osmiletý gympl do třídy se zaměřením na matematiku, ale v té matice až tak exceletní nejsem.

PeetPb · 01. 01. 2011 21:15

↑ Jozy: aha tak to hej .. ja tiez na 8rocny gympel ale zial bohu so zameranim na jazyky .... ale to je jedno s5 k teme

Jozy · 01. 01. 2011 21:20

Jinak to L'Hospitalovo pravidlo sem už našel v takové staré učebnici "Základy diferenciálního počtu" co jsme dostali na začátku roku, takže myslím, že je to O.K.

Jozy · 01. 01. 2011 21:27

↑ LukasM:
Jo dík, už mi je to jasný.

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2010 02:24

limity

#2 31. 12. 2010 02:50 — Editoval PeetPb (31. 12. 2010 03:01)

Re: limity

#3 01. 01. 2011 17:26 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 17:27)

Re: limity

#4 01. 01. 2011 17:52

Re: limity

#5 01. 01. 2011 20:26 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 20:27)

Re: limity

#6 01. 01. 2011 20:37

Re: limity

#7 01. 01. 2011 20:45 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 20:47)

Re: limity

#8 01. 01. 2011 20:54

Re: limity

#9 01. 01. 2011 21:03

Re: limity

#10 01. 01. 2011 21:11 — Editoval Jozy (01. 01. 2011 21:14)

Re: limity

#11 01. 01. 2011 21:15

Re: limity

#12 01. 01. 2011 21:20

Re: limity

#13 01. 01. 2011 21:27

Re: limity

Zápatí