Matematické Fórum

mongoose · 03. 01. 2011 16:13

Ahoj prosím o pomoc s rovnicí tečny

mam najít rovnici tečny u paraboly určené rovnicí y= x^2 - 2x - 3

aby tečna svírala s přímkou 2x + y - 2 = 0 úhel 45 stupňů

zkoušel sem to přez rovnost derivace paraboly 1 kvůli tg45
ale to by byla asi nejspíš nějaká tečna co svírá úhel 45 s osou x

nevim jak využít pravě tu přímkou

díky moc za co nejrychlejší reakci alespoň nakopnuti správným směrem ;)

mongoose · 03. 01. 2011 20:05

prosím nenašel by se někdo s radou ... :/

teolog · 03. 01. 2011 22:13 — Editoval teolog (03. 01. 2011 22:47)

↑ mongoose:
Zdravím, pro začátek jedna rada: když na Váš příspěvek nikdo delší dobu nereaguje, tak sice opakováním prosby na chvíli příspěvek posuntete nahoru, jenže někteří matadoři zdejšího fóra pak procházejí příspěvky za celý den a snaží se odpovědět na ty, na které nikdo nereaguje, neboli na příspěvky, u kterých svítí nula odpovědí. Což Váš po opakování prosby není.

Možná bude můj postup trochu krkolomný, ale nic lepšího mne teď nenapadlo.

Rovnici paraboly jsem přepsal do středového tvaru, abych mohl snáze napsat obecnou rovnici tečny k dané parabole.

Parabola: $(x-1)^2=2\cdot \frac12(y-(-4))$
Tečna: $(x-1)(x_0-1)=\frac12(y+y_0+8)$ , kde $x_0$ a $y_0$ jsou souřadnice bodu dotyku
Tečna po úpravě na směrnicový tvar: $y=2(x_0-1)x-2x_0-6-y_0$

Směrnice tečny: $2(x_0-1)$

Směrnice zadané přímky $k=-2$ , a protože $k=\mathrm{tg}\alpha$ , tak úhel mazi zadanou přímkou a kladnou poloosou x je $\alpha=116^{\circ}33^{\prime}54,1^{\prime\prime}$

Úhel nevychází moc hezky, ale to nevadí. Od tohoto úhlu odečtu pžadovaných 45° (to je první řešení, ve druhém se 45° přičte).
Tím dostaneme hel, kkterý má svírat neše hledaná tečna s kladnou polosou x a tangens tohoto úhlu je směrnicí hledané tečny. Tato směrnice po je 3. Takže nyní můžeme tuto směrnici dosadit do výrazu $2(x_0-1)$ a dostaneme souřadnice bodu dotyku tečny s parabolou $T=[\frac52,-\frac74]$ , což nám umožní zapsat kompletní rovnici tečny: $-3x+y+\frac{37}{4}=0$ .
Druhé řešení získáme přičtením 45°k úhlu alfa a identickým postupem (viz výše).

Nevím, možná by to šlo pomocí derivace rychleji a elegantněji, ale mě teď večer nic lepšího nenapadalo.
Budu rád, když napíšete, zda se Vám podařilo nalézt rovnici druhé tečny, případně pak téma označit za vyřešené.

Ještě mne teď napadlo, že hledání druhé tečny je jednodušší. Prtože o ní víme, že s nalezenou tečnou svírá úhel 90°, takže stačí místo normálového vektoru nalezené tečny (-3,1) použít vektro na tento kolmý, tedy (1,3) a pak už jen zbývá dopočítat absolutní člen c (například dosazením rovnice $y=-\frac13 x+c$ do rovnice paraboly a položit výsledný diskriminant nule (což odpovídá, že parabola a tečna mají jen jeden průsečík)).

Ještě pro ilustraci přiládám obrázek (spíše ho přikládám pro své potěšení mého pokroku s GeoGebrou) :)

mongoose · 07. 01. 2011 16:18

díky sice to je z jinýho úhlu pohledu, ale i tak děkuju ;)

jelena · 07. 01. 2011 23:33

↑ mongoose:

k postupům, co uvedl kolega ↑ Štěpán: (můj obdiv) ještě doplním další úhel pohledu - tento vzorec.

Zadaná přímka je $y=-2x+2$ , $k_1=-2$ pro přímku. Pomoci vzorce v odkazu hledáme $k_2$ tečny paraboly (rovnice tečny $y=k_2x+q$ ) k_2 je zároveň derivace funkce f(x) v hledaném bodě $x_T$ .

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2011 16:13

Nalezení rovnice tečny k parabole

#2 03. 01. 2011 20:05

Re: Nalezení rovnice tečny k parabole

#3 03. 01. 2011 22:13 — Editoval teolog (03. 01. 2011 22:47)

Re: Nalezení rovnice tečny k parabole

#4 07. 01. 2011 16:18

Re: Nalezení rovnice tečny k parabole

#5 07. 01. 2011 23:33

Re: Nalezení rovnice tečny k parabole

Zápatí