Matematické Fórum

BakyX · 06. 01. 2011 00:42

Dobrý večer. Mám problém pri riešení tejto úlohy:

Dokážte, že výraz V je deliteľný číslom 28 pre každé prirodzené číslo "n".

$V=40^n-8^n-5^n+1$

Napadlo ma využiť to, že $(8.5)^n=40^n$

$V=(8.5)^n-8^n-5^n+1$

A následne toto rozložiť na súčin:

$V=(8^n-1)(5^n-1)$

No a čo teraz ? Je jasné, že $8^n-1$ dá vždy nepárny výsledok a $5^n-1$ párny výsledok.

Maximálne tak, že číslo deliteľné 28 sa dá zapísať ako 7*4*k. Tým pádom zrejme musím dokázať:

$7|8^n-1 \hspace{4} \wedge \hspace{4}4|5^n-1$

Ako ale dokážem toto ? Ďakujem za akúkoľvek radu.

scirocco · 06. 01. 2011 01:26

Skús použiť úpravu:
$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

teda:

$8^n-1=8^n-1^n=\dots$

a tak ďalej.

jarrro · 06. 01. 2011 09:56

ak ide len o dôkaz tak poslúži indukcia pre n=1 to má hodnotu 28 teda je to pravda
a platí $40^{n+1}-8^{n+1}-5^{n+1}+1=40\cdot 40^{n}-8\cdot 8^{n}-5\cdot 5^{n}+1=\nl=40\left(40^{n}-8^{n}-5^{n}+1\right)+32\cdot 8^n+35\cdot 5^n-39$
teraz stačí ukázať,že 28 delí
$4\cdot 8^{n}+7\cdot 5^{n}-39$
pre n=1 je to pravda a platí
$4\cdot 8^{n+1}+7\cdot 5^{n+1}-39=8\left(4\cdot 8^{n}+7\cdot 5^{n}-39\right)-21\cdot 5^{n}+7\cdot 39$
a nakoniec treba ukázať,že 4 delí
$39-3\cdot 5^n$
pre n=1 je to pravda a platí
$39-3\cdot 5^{n+1}=5\left(39-3\cdot 5^{n}\right)-4\cdot 39$
čím sme dokázali pôvodné tvrdenie

BakyX · 06. 01. 2011 12:37

↑ scirocco:

Ajo..Vďaka za tip. Potom je to jasné..To druhé sa dá odvodiť intuitívne.

↑ jarrro:

Ďakujem, ale toto som mal riešiť bez indukcie. Tak hovorilo zadanie..

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2011 00:42

Deliteľnosť

#2 06. 01. 2011 01:26

Re: Deliteľnosť

#3 06. 01. 2011 09:56

Re: Deliteľnosť

#4 06. 01. 2011 12:37

Re: Deliteľnosť

Zápatí