Matematické Fórum

↑ BakyX:

Jen taková drobnost, .... co je úkolem?:-)

Mám řešení:
Lemma: Jsou-li dány na kružnici dvě stejně dlouhé různé tětivy AB, BC, pak leží-li bod D na kružnici, tak BD je osou úhlu ADC. Důkaz nechávámna vás. (-:

Nechť bod spojující dvě tětivy o délce 11 se jmenuje A, zbylé body šestiúhelníku roti směru hodinových ručiček označme B, C, D, E, F. Podle našeho lemmatu platí:
BAC = CAD = alfa,
DAE = EAF = beta,
BEA = AEF = gama.
Uvažme tečnu ke kružnici v bodě A a na ní směrem vlevo od bodu A bod X, směrem vpravo od bodu A bod Y. Podle věty o úsekovém úhlu platí: AEF = FAX = alfa, stejně tak platí BEA = BAY = alfa. Je zřejmé, že BAY + BAC + CAD + DAE + EAF + FAX = pí, jinak zapsáno:
2*alfa + 2*beta + 2*gama = pí
alfa + beta + gama = pí/2.

Lemma 2: Nechť je dán trojúhelník ABC. Pak poloměr jeho kružnice opsané je dán vzorcem:
r = a / (2*sin(alfa)) = b / (2*sin(beta)) = c / (2*sin(gama)).
V podstatě se jedná o vedlejší důsledek při důkazu sinové věty, kdyby někoho zajímalo, proč to platí.

V našem případě: AB = a = 11, BC = b = 7, DE = c = 2

Ze sinové věty získáme tyto dvě rovnosti:
11*sin(beta) = 7*sin(alfa)
2*sin(beta) = 7*sin(gama)

Dále bych nějak využil  vztahu alfa+beta+gama = pí/2 (součtové vzorce, nebo něco takového), a měl bych soustavu 3 rovnic o třech neznámých. Tu bych potom vyřešil a pomocí lemmatu 2 bych snadno získal poloměr r. Problém je, že ta soustava se nikdy neredukovala na nic pěknějšího, než na obludnou kubickou rovnici. Otázka tedy zní: neexistuje něco jednoduššíího, efektivnějšího a snadnějšího?

↑ Anonymystik:

Heh..Pekné riešenie..

DAJ HINT na to elegantné riešenie :)