Matematické Fórum

BakyX · 18. 03. 2011 20:31

Ahojte..Ďalší príklad:

Nech P(x) je polynóm štvrtého stupňa s celočíselnými koeficientmi. Predpokladajme, že pre každé celé číslo "x" je P(x) celé číslo deliteľné piatimi. Dokážte, že všetky koeficienty polynómu P(x) sú deliteľné piatimi.

Ak je číslo "x" napríklad 5, tak potom je absolútny člen číslo deliteľné piatimi, teda výrok môže, ale nemusí platiť, alebo sa mýlim. Prosím o vysvetlenie.. Ďakujem :)

claudia

Ahoj Baxy,

ano, absolutní člen nutně musí být dělitelný pěti. Dá se to i snadno ukázat.

Mějme polynom $P(x) = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ , kde absolutní člen je tedy $a_0$ .

Víme, že $\forall x\in\mathbb{Z}: 5 | P(x)$ (pro všechna x taková, že x je celé číslo, platí, že P(x) je dělitelné pěti)

Protože i 0 je celé číslo, platí to i pro x=0, tedy $5|P(0)$ , ovšem zřejmě platí $P(0)=a_0$ , takže $5|a_0$ .

Dále si můžeme rozmyslet, že pokud jsou dvě čísla dělitelná pěti, i jejich rozdíl je dělitelný pěti, takže platí:

$\forall x\in\mathbb{Z}: 5 | (P(x) - a_0)$

Označme si proto

$Q(x) = P(x) - a_0 = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x$

a víme, že jde opět o polynom, který nám poskytuje čísla dělitelná pěti pro všechna celočíselná x. Tedy např. i pro x=1 a x=-1, z čehož můžeme dále usuzovat...

(Dále to asi nemá smysl psát, protože jsi zjevně bystrý a přijdeš si na to sám. Kdyby ses zasekl, ve skryté části jen velmi nekorektně naznačím, jak bych uvažovala. Kdyby nějaký krok nebyl jasný, ptej se.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2011 20:31

Polynóm II - dôkaz

#2 19. 03. 2011 00:30 — Editoval claudia (19. 03. 2011 00:30)

Re: Polynóm II - dôkaz

Zápatí