Matematické Fórum

Ravel1984 · 20. 03. 2011 13:31

Zdravím, potřeboval bych pomoct s rozhodováním o konvergenci daných řad. Předem děkuji.

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zajicek/UKAZKOVE1.pdf

claudia

No, když neřekneš, se kterým příkladem, případně kterou jeho částí máš problém, tak napíši třeba první :-)

$\sum_1^\infty a_n = \sum_1^\infty \ln$\frac{n+\sqrt{n}}{n+2}$ $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$=\sum_1^\infty \ln$1+\frac{-2+\sqrt{n}}{n+2}$ $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

$\sum_1^\infty b_n= \sum_1^\infty $\frac{-2+\sqrt{n}}{n+2}$ $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$

Nyní si povšimni, že $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$ , tedy stačí zjistit, zda konverguje $\sum_1^\infty b_n$

$b_n &= $\frac{-2+\sqrt{n}}{n+2}$ $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ =\frac{-2+\sqrt{n}}{n+2} \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =\frac{-2+\sqrt{n}}{$n+2$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$}$

$\frac{b_n}{\frac1{n^\alpha}}=\frac{\frac{-2+\sqrt{n}}{$n+2$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$}}{\frac{1}{n^\alpha}} =\frac{$n^\alpha$$-2+\sqrt{n}$ }{$n+2$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$} =\frac{$n^{\alpha+1/2}$$-2n^{-1/2}+1$ }{n^{3/2}$1+2n^{-1}$$\sqrt{1+1n^{-1}}+1$} \stackrel{\alpha = 1}{\rightarrow}\frac{1}{2}$

A harmonická řada diverguje. $\square$

Ravel1984 · 20. 03. 2011 16:07

Děkuji a uznávám, měl jsem se vyjádřit jasněji. :-) Hodila by se mi pomoc s těmi dvěma posledními příklady.

Ravel1984

A taky bych potřeboval zkontrolovat výsledky tří příkladů: př. 5 jsem dělal přes D'Alambertovo kritérium a vyšlo mi, že řada diverguje, př. 6 jsem dělal stejně, ale řada konvergovala a př. 7 se mi nějak nezdá, podle mě není splněna ani nutná podmínka konvergence řady, n-tý člen nejde k nule. Předem děkuji za ochotu. :-)

claudia

↑ Ravel1984:

U pátého příkladu mi vyšlo, limitním podílovým kritériem, že konverguje. Ukaž, jak jej používáš.

(Jinak u druhého mi vyšla divergence (nesplnění nutné podmínky), u třetího konvergence (odstranění jednoho logaritmu jako výše a srovnávací kritérium pro druhý), u čtvrtého divergence (srovnání s harmonickou řadou).)

U šestého mi vyšla $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{3}{\mathrm{e}}>1$ , tedy diverguje a není ani splněna nutná podmínka konvergence.

U sedmého pochopitelně obecný člen k nule jde. Je to limita tvaru omezená posloupnost (sinus) krát posloupnost jdoucí k nule (ln(n)<<n).

(Přestože to tak ve dvou ukázkových úlohách je, docela by mě překvapilo, kdyby prof. Zajíček dal na test řadu, kde by nebyla splněna ani nutná podmínka :-)

U sedmé úlohy by tedy mělo fungovat Dirichletovo kritérium, protože $\sin\frac{n\pi}{3}$ má omezenou posloupnost částečných součtů a $\frac{\ln n}{n+ \sqrt{n+2}}$ jde monotónně k nule (stačí ukázat, že podobně definovaná funkce má zápornou první derivaci).

U osmé úlohy obdobně.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2011 13:31

Konvergence řad

#2 20. 03. 2011 13:49 — Editoval claudia (20. 03. 2011 14:24)

Re: Konvergence řad

#3 20. 03. 2011 16:07

Re: Konvergence řad

#4 20. 03. 2011 17:02 — Editoval Ravel1984 (20. 03. 2011 17:11)

Re: Konvergence řad

#5 20. 03. 2011 22:57 — Editoval claudia (21. 03. 2011 08:04)

Re: Konvergence řad

Zápatí