Matematické Fórum

maroon · 28. 03. 2011 21:20 — Editoval maroon (28. 03. 2011 21:23)

Pěkný den,
prosím o radu, jak vyřešit následující příklad. (stačí nějaké nakopnutí)

Určete velikost úhlu, pod kterým je z bodu $H[-12;2]$ vidět hyperbolu o rovnici $4(x-3)^2 - 45(y+2)^2 = 180.$
---

Takhle to vypadá v reálu, bod H je bodem hyperboly.Odkaz na obrázek. (pokud jsem to dobře vykreslil)

Pokud chci najít tečny, najdu jednu v bode H. Potřeboval bych nějakým způsobem vynechat tu levou větev a řešit tečny z bodu H k pravé části hyperboly. (resp. body dotyku, které potřebuji k určení úhlu)

Díky za vaši pomoc.

jelena · 28. 03. 2011 21:27

↑ maroon:

Zdravím,

to se mi nezdá, že bod H je bodem hyperboly, zkus, prosím, dosadit souřadnice bodu H do rovnice hyperboly. Děkuji.

maroon · 28. 03. 2011 21:31 — Editoval maroon (28. 03. 2011 21:32)

$4(x-3)^2 - 45(y+2)^2 = 180$
$4(-12-3)^2 - 45(2+2)^2 = 180$
$4(-15)^2 - 45(4)^2 = 180$
$900 - 720 = 180$
$0 = 0$

jelena · 28. 03. 2011 22:05 — Editoval jelena (12. 03. 2015 19:18)

↑ maroon:

Děkuji, omlouvám se, špatně jsem dosazovala.

Potom bych stejně pokračovala sestavením rovnic tečny y=kx+q, za předpokladu, že prochází bodem H (tedy $y=k(x+12)+2$ ) - souhlasí? Edit (po 4 letech)" kolega Cheop nesouhlasil, opraveno. Děkuji.

Po dosazení do rovnice hyperboly vychází kvadratická rovnice s parametrem k, hledám takové k, aby D=0.

Potom se použije vztah pro úhel přímek ve směrnicovém tvaru.

Tak to nevychází? Děkuji.

Cheop · 29. 03. 2011 07:17 — Editoval Cheop (29. 03. 2011 08:09)

↑ jelena:
Podle mne $y=k(x+12)\color{red}+\color{black}2$

pema01 · 12. 03. 2015 17:17 — Editoval pema01 (12. 03. 2015 17:18)

Řešení mi nepřišlo zase až tak těžké, sledujte:

Upravíme si rovnici hyperboly tak, abychom přesně věděli, jak jsou velké velikosti hlavní a vedlejší osy: $\frac{(x-3)^{2}}{45}-\frac{(y+2)^{2}}{4}=1$

Nyní můžeme určit asymptoty hyperboly (vždy délka poloosy rovnoběžná s "y" děleno délka zbylé), tedy: $p;q:y= \pm \frac{2}{\sqrt{45}}x+c$ , kde c je parametr, který nás ale vůbec nezajímá.

Abychom zjistili, pod jakým úhlem vidíme danou hyperbolu z bodu, musíme určit 2 přímky, které prochází tímto bodem (tedy bodem H). Myšlenka je taková, že tyto přímky musí být rovnoběžné s asymptotami, které jsme si již vyjádřili. Jelikož tedy přímka $l_{1}$ je rovnoběžná s asymptotou $p$ , jejich vektory jsou lineárně závislé, tedy: $p\parallel l_{1}: y=\frac{2}{\sqrt{45}}x+d$ , kde "d" je parametr, který jednoduše vypočítáme dosazením souřadnic bodu H, dostaneme tedy: $l_{1}: y=\frac{2}{\sqrt{45}}x+(2+\frac{24}{\sqrt{45}})$ , po úpravě na obecnou rovnici přímky:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

.
Normálový vektor přímky l1 je tedy $(2;-\sqrt{45})$

Obdobně víme, že přímka l2 je rovnoběžná s asymptotou "q",

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

. Normálový vektor l2 je tedy: $(2;\sqrt{45})$ .

Nyní použijeme vzorec pro odchylku 2 přímek a máme vyhráno: $cos \varphi = \frac{|n_{l_{1}}*n_{l_{2}}|}{|n_{l_{1}}|*|n_{l_{2}}|}$ , kde v čitateli je absolutní hodnota skalárního součinu normálových vektorů l1 a l2 a ve jmenovateli je součin velikostí normálových vektorů l1 a l2. Po dosazení: $cos \varphi = \frac{|4-45|}{|7|*|7|}=\frac{41}{49}$ , a převrácenou hodnotou cos získáme velikost úhlu: $\varphi = 33°12'$

jelena · 12. 03. 2015 19:16

Zdravím,

kolega Cheop před 4 lety napsal(a):
↑ jelena:
Podle mne $y=k(x+12)\color{red}+\color{black}2$

děkuji, opravím :-)

↑ pema01: také děkuji. Z čeho ale plyne, že hledané přímky musí být rovnoběžné s asymptotami?

pema01 napsal(a):
Abychom zjistili, pod jakým úhlem vidíme danou hyperbolu z bodu, musíme určit 2 přímky, které prochází tímto bodem (tedy bodem H). Myšlenka je taková, že tyto přímky musí být rovnoběžné s asymptotami, které jsme si již vyjádřili.

Pořád si myslím, že pro nalezení úhlu, pod kterým vidíme hyperbolu, potřebujeme tečny vedené z tohoto bodu k zadané hyperbole. Je tak? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2011 21:20 — Editoval maroon (28. 03. 2011 21:23)

Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#2 28. 03. 2011 21:27

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#3 28. 03. 2011 21:31 — Editoval maroon (28. 03. 2011 21:32)

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#4 28. 03. 2011 22:05 — Editoval jelena (12. 03. 2015 19:18)

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#5 29. 03. 2011 07:17 — Editoval Cheop (29. 03. 2011 08:09)

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#6 12. 03. 2015 17:17 — Editoval pema01 (12. 03. 2015 17:18)

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

#7 12. 03. 2015 19:16

Re: Úhel pod kterým je z bodu vidět hyperbola.

kolega Cheop před 4 lety napsal(a):

pema01 napsal(a):

Zápatí