Matematické Fórum

↑ byk7:
A co ještě také

Pridám sem moje riešenie (zrejme najjeduchšie)

Skrytý text:

Označme si päty výšok na strany . Nie je problém dokázať nasledujúce vzťahy pre všetky trojuholníky:



Trojuholníky sú pravouhlé trojuholníky s pravým uhlom pri vrcholoch . Platí pre ne pytagorová veta:



Tento vzťah upravíme:



Obe strany rovnice sú nezáporné, preto môžeme rovnicu odmocniť:



Teraz dosadíme do vzťahu do zadania:




Teraz môžu nastať dve prípady:

1.

- Trojuholník je rovnoramenný

2.



V intervali (0;pi) má táto rovnica iba jedno riešenie, a to 90 stupňov.

Záver: Vzťah zo zadania platí pre všetky rovnoramenné trojuholníky s ramenami a,b a pre všetky pravouhlé trojuholníky s odvesnami a,b (pravým uhlom pri vrchole C).

↑ Rumburak:

Tak už viem,prečo sa ti tá úloha tak páčila, respektíve prečo to +.

Dosť podobným spôsobom som práve (predtým, než som to tvoje riešenie videl) vyriešil inú, dosť podobnú úlohu.
Toto riešenie je určite elegantnejšie ako moje, Ďakujem

Tá podobná úloha (táto bola kedysi dávno ako domáce kolo MO a nasledujúca je krajské kolo):

Nájdi všetky lichobežníky so základňami veľkými 6,4, pre ktoré platí:

, pričom:

je vzdialenosť vrcholu A od strany
je vzdialenosť vrcholu B od strany .


Iste uznáš, že vynásobenie

Skrytý text:
rovnosti výrazom alebo je skutočne elegantný dôkaz rovnoramennosti lichobežníka

↑ BakyX:
Ano, ten důkaz mi vyšel obdobnou technikou jako u trojúhelníku, ale samozřejmě komplikovaněji.

Z rovností  ,    jsem použil pouze tu druhou -
spolu s informací, že délky základen jsou v poměru 3:2.

↑ BakyX:

BakyX napsal(a):

- z toho nie je problém odvodiť, že .

Připadá mi, že pak už není potřeba dokazovat nic dalšího,  protože ta možnost, že bychom nedostali "pravý" lichoběžník, ale obdélník,
je předem vyloučena podmínkou , že základny mají různé délky.

Nebo špatně chápu zadání ?...