Matematické Fórum

Marty · 09. 10. 2007 20:00

Pokouším se dokázat výrok |a - b + c| >= |a| - |b| - |c| pro a,b,c nalezi R, tak jsem to zkusil sporem, tedy že výrok neplatí:
|a - b + c| < |a| - |b| - |c|

což očividně není pravda, protože můžu zvolit a=0, b=0, c=0 a nerovnice nebude platit. Výrok je tedy pravdivý. Neví někdo o jiném důkazu? Zřejmě bude založený na trojúhelníkové nerovnosti, jen mě nenapadá jak.

Děkuji předem za odpověď

Kondr · 09. 10. 2007 21:27

Dokazujeme, že
|a - b + c| >= |a| - |b| - |c| pro všechny trojice a,b,c z reálných čísel.

Pokud to budeme dokazovat sporem, budeme předpokládat, že existuje trojice a,b,c, pro kterou
|a - b + c| < |a| - |b| - |c|.
Trojice 0, 0, 0 nevyhoví. Tím jsme ale nedošli ke sporu. Tím jsme ukázali, že trojice a,b,c není 0,0,0. Ale my potřebujeme ukázat, že žádná dvojice nevyhov podmínce
|a - b + c| < |a| - |b| - |c|.

Doporučuji postupovat takto:
vyjdeme z trojúhelníkové neovnosti |x+y|>=|x|-|y|, do které dosadíme

1) x=a+c, y=-b
|a-b+c| >= |a+c|-|-b| = |a+c|-|b|

2)x=a, y=c
|a+c|>=|a|-|c|

Složením těchto dvou nerovností
|a-b+c|>=|a+c|- |b|>|a|-|c|-|b|, což jsme chtěli dokázat.

Pro úplnost by to možná chtělo důkaz zmíněné trojúhelníkové nerovnosti

|x+y|>=|x|-|y|

Pokud je pravá strana nekladná, jsme hotovi. Pokud je kladná, je umocnění ekvivalentní úprava. Dostaneme
x^2+y^2+2xy>=x^2+y^2-2|x|.|y|, po úpravě
xy>=-|x|.|y|,
xy>=-|xy|.
Když je xy nekladné, nastává rovnost, jinak je levá strana kladná a pravá záporná.
Tímto je důkaz hotov.

Marty · 09. 10. 2007 21:29

Děkuju moc

vanok · 06. 02. 2012 15:45

Poznamka:

Mozme tiez urobit priamy dokaz, vdaka :
Pre $(x, y) \in\mathbb{C}^2$ plati,
$|x+y| \le |x|+|y|$ . $(T1)$

Co nam umoznuje dokazat pytanu vlasnost v $\mathbb{C}$

Najprv vieme, ze $a=( a-b+c) +(b-c)$ ,
a naviac $(T1)$ pre $x=a-b+c$ a $y= b-c$
nam da
$|a|=|(a-b+c) +(b-c)| \le |a-b+c| +|b-c|$ $(N1)$

Podobne mame:
$|b-c|= |b+(-c)| \le |b| + |-c|= |b|+|c|$
Co nam dovoluje upravit nerovnost $(N1)$ takto
$|a|\le |a-b+c| +|b|+|c|$
a este:
$|a| - |b| - |c|\le |a - b + c|$ pre kazde $a,b,c \in \mathbb{C}$

co je hladana nerovnost.

Matematické Fórum

#1 09. 10. 2007 20:00

Důkaz výroku |a - b + c| >= |a| - |b| - |c|

#2 09. 10. 2007 21:27

Re: Důkaz výroku |a - b + c| >= |a| - |b| - |c|

#3 09. 10. 2007 21:29

Re: Důkaz výroku |a - b + c| >= |a| - |b| - |c|

#4 06. 02. 2012 15:45

Re: Důkaz výroku |a - b + c| >= |a| - |b| - |c|

Zápatí