Matematické Fórum

BakyX · 28. 04. 2011 17:25

Zdravím..Mám takýto problém..

Predpokladajme, že pre prirodzené čísla a,b,c,d platí $ab = cd$ . Dokáž, že číslo $a^2+b^2+c^2+d^2$ je číslo zložené.

Nechcem celé riešenie, nejaký hint.

Môj nápad:

Upraviť si výraz na:

$(a+b)^2 + (c-d)^2$

A to je všetko. Neviem, čo s tým. Prvočísla predsa môžu byť v tvare $x^2+y^2$ .

Ďakujem za radu.

Aquabellla

↑ BakyX:

nevím, zda je to korektní způsob, ale napadlo mě toto:

$a = \frac{cd}{b}$ dosadit do druhého vztahu

$(\frac{cd}{b})^2 + b^2 + c^2 + d^2$ vytknout $(\frac{1}{b^2})$

$(\frac{1}{b^2}) \cdot [c^2 \cdot d^2 + b^4 + c^2 \cdot b^2 + d^2 \cdot b^2] = (\frac{1}{b^2}) \cdot [c^2 \cdot (d^2 + b^2) + b^2 \cdot (b^2 + d^2)] = (\frac{1}{b^2}) \cdot (c^2 + b^2) \cdot (b^2 + d^2)$

Dana1 · 28. 04. 2011 19:04 — Editoval Dana1 (28. 04. 2011 19:05)

Asi myslíš toto, ale sú to korektné úpravy (ten menovateľ asi nemôže len tak zmiznúť)?

$c^2 \cdot d^2 + b^4 + c^2 \cdot b^2 + d^2 \cdot b^2 = c^2 \cdot (d^2 \color{red}+\color{black} b^2) + b^2 \cdot (b^2 \color{red}+\color{black} d^2) = (c^2 + b^2) \cdot (b^2 + d^2)$

Aquabellla · 28. 04. 2011 19:12

↑ Dana1:

díky za opravu :-)

Nejsem si jistá, je to jen nápad... i když ten jmenovatel by šel před celý člen vytknout, takže by stejně na konci vznikl součin

OiBobik

↑ Aquabellla:

To cos napsala, je určitě krok dobrým směrem, nelze ten výraz ovšem jen tak vynásobit, nicméně jde tím b^2 zkrátka rozšířit - tedy pracovat dále se zlomkem $a^2+b^2+c^2+d^2=\frac{(c^2 + b^2) \cdot (b^2 + d^2)}{b^2}$
K dokončení příkladu bych pak radil vyjádřit si $b$ jako jeho prvočíselný rozklad a pak se na tento zlomek (a původní zadanou rovnost) pozorně zadívat : ))

(záměrně nepíšu řešení, protože o něj BakyX nestál, tak jestli víte, taky ho prosím nepište a pokud už, tak do hide)

EDIT: Takto to už asi moc nedává smysl, byla to reakce na později editovaný příspěvek.

Olin · 28. 04. 2011 20:29

Hint: přepsat si podmínku $ab = cd$ jako $\tfrac ad = \tfrac cb$ , přičemž oba tyto zlomky lze zapsat v témže základním tvaru $\tfrac pq$ .

BakyX · 29. 04. 2011 12:17

↑ Olin:

Neviem, čo si mám z toho odvodiť. Nič ma nenapadá čo by mi pomohlo. Ďakujem

Olin · 29. 04. 2011 13:57

Z $\tfrac ad = \tfrac cb = \tfrac pq$ plyne existence takových $m, n$ , že $a = mp, c = np, d = mq, b = nq$ . Tomuto "obratu" se někdy říká factoring lemma.

BakyX · 29. 04. 2011 14:03

↑ Olin:

Aha..Ďakujem. Dosadil som to do vzťahu od ↑ OiBobik: a mám:

$(p^2+q^2)(n^2+m^2)$ .

Ani jedno sa nemôže rovnať 1, teda číslo je zložené :)

Ďakujem

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2011 17:25

Dôkaz zloženosti čísla

#2 28. 04. 2011 17:37 Příspěvek uživatele OiBobik byl skryt uživatelem OiBobik. Důvod: špatnej nápad

#3 28. 04. 2011 18:59 — Editoval Aquabellla (28. 04. 2011 19:24)

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#4 28. 04. 2011 19:04 — Editoval Dana1 (28. 04. 2011 19:05)

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#5 28. 04. 2011 19:12

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#6 28. 04. 2011 19:32 — Editoval OiBobik (28. 04. 2011 19:34)

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#7 28. 04. 2011 20:29

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#8 29. 04. 2011 12:17

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#9 29. 04. 2011 13:57

Re: Dôkaz zloženosti čísla

#10 29. 04. 2011 14:03

Re: Dôkaz zloženosti čísla

Zápatí