Matematické Fórum

BakyX · 29. 04. 2011 11:32

Zdravím..Mám trocha problém s pochopením homogenity výrazu. Podľa definície:

Výraz $V(a, b, c)$ nazývame homegenný stupňa $\alpha$ , ak existuje $\alpha \in R$ také, že pre každé $t>0$ platí $V(ta, tb, tc) = t^\alpha V(a, b, c)$ .

Ak to chápem správne, tak napríklad výraz $a+b+c$ je homogenný, lebo $ta+tb+tc=t^1 (a+b+c) = t^1 V$ - teda je homogenný stupňa 1. Ale keď mám napríklad tento výraz $a.b^{-1}+a^{-2}.b.c+5$ , tak ako mám na základe definície určiť homogenitu. Prípadne tento: $a^{-3}+2a^{-4}b-(abc)^{-1}$ . Keď sa vo výraze vyskytujú mocniny, tak už aj intuitívne pochopenie odchádza. Napríklad mám nerovnosť $(a^r+b^r)^{\frac 1 s} \ge (a^s+b^s)^{\frac 1 s}$ pre $a,b \ge 0, s \ge r$ . Nerovnosť je homgenná stupňa 1, avšak vôbec nechápem prečo. Ďakujem za objasnenie.

Raduse73 · 29. 04. 2011 11:59

$a.b^{-1}+a^{-2}.b.c+5=(ta).(tb)^{-1}+(ta)^{-2}.(tb).(tc)+5$

Stačí to takhle nebo to ještě není vidět?

BakyX · 29. 04. 2011 12:04 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:05)

↑ Raduse73:

Ďakujem..

Takže tento:

$a^{-3}+2a^{-4}b-(abc)^{-1}=(ta)^{-3}+2.(ta)^{-4}.tb-(t^3 abc)^{-1}=t^{-3}(a^{-3}+2a^{-4}b-(abc)^{-1})$ .

Super..

A čo s odmocninami ? $(a^r+b^r)^{\frac 1 s} \ge (a^s+b^s)^{\frac 1 s}$

Raduse73 · 29. 04. 2011 12:10

↑ BakyX:

$(a^r+b^r)^{\frac 1 s} \ge (a^s+b^s)^{\frac 1 s}=((ta)^r+(tb)^r)^{\frac 1 s} \ge ((ta)^s+(tb)^s)^{\frac 1 s}$

Vytkneš $t^r$ resp. $t^s$

BakyX · 29. 04. 2011 12:21 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:21)

↑ Raduse73:

Tak skúsim:

$(t^r(a^r+b^r))^\frac{1}{s}=t^{\frac{r}{s}}(a^r+b^r)^{\frac{1}{s}}$

Teda výraz je homogenný stupňa $\frac r s$ . Nie ?

A keďže druhá strana nerovnosti je tiež homogenná toho istého stupňa, potom je celá nerovnosť homegenná stupňa 1. Tak ?

Raduse73 · 29. 04. 2011 12:29

↑ BakyX:

Ano.

BakyX · 29. 04. 2011 12:32

↑ Raduse73:

Super..A ešte mám otázku..Prečo môžeme pri homogenných nerovnostiach predpokladať napríklad $a+b+c=1$ . Túto riešili tak, že predpokladali, že $a^r+b^r=1$ .

Raduse73 · 29. 04. 2011 12:38

↑ BakyX:

Musela bych to vidět celé, uniká mi souvislost. Nebylo to nějak podobně jako tady? http://ganymed.math.muni.cz/brkos/index … i&u=15

BakyX · 29. 04. 2011 12:41 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:42)

Nerovnosť:

Pre $a,b \ge 0$ a $s \ge r$ dokážte:

$(a^r+b^r)^{\frac{1}{r}} \ge (a^s+b^s)^{\frac{1}{s}}$

Mne ide o to, že nechápem, prečo je možné predpokladať $a^r+b^r=1$ a jednoducho to vyriešiť.

Raduse73 · 29. 04. 2011 12:44

↑ BakyX:

najdu ten výpočet někde celý?

BakyX · 29. 04. 2011 12:51

http://mks.mff.cuni.cz/archive/29/9.pdf

Olin · 29. 04. 2011 12:54 — Editoval Olin (29. 04. 2011 13:35)

↑ BakyX:
Předpokládejme, že máme dokázanou uvedenou nerovnost pro všechna $a, b$ splňující $a^r+b^r=1$ . Pokud je $a^r+b^r \neq 1$ , můžeme přejít k novým proměnným $x = \frac{a}{(a^r+b^r)^{1/r}}, y = \frac{b}{(a^r+b^r)^{1/r}}$ , které splňují $x^r + y^r = 1$ . Pro ně nerovnost platí, její úpravou (zkrácením) dostaneme požadovanou nerovnost pro $a, b$ . Analogicky to funguje u všech homogenních nerovností.

BakyX · 29. 04. 2011 13:05

↑ Olin:

Ďakujem. Už chápem

byk7 · 29. 04. 2011 14:44

A co všechno si můžu dovolit předpokládat, když je nerovnost homogenní?

BakyX · 29. 04. 2011 15:46

↑ byk7:

To sa ako kontrolne pýtaš mňa ?

byk7 · 29. 04. 2011 16:20

To není kontrola, já to sám nevím ;)

Olin · 29. 04. 2011 17:31

Můžeme předpokládat, že dané proměnné (ve kterých je nerovnost homogenní) jsou z takové množiny, jejíž obrazy ve všech možných stejnolehlostech podle počátku vyplní celou množinu přípustných proměnných (typicky první kvadrant). Takovou podmínkou tedy třeba je $x^2 + y^2 = 1$ , protože jsme celý první kvadrant (dokonce celou rovinu kromě počátku) schopni vyplnit pomocí roztahování této kružnice.

byk7 · 29. 04. 2011 20:00

↑ Olin: tak z toho moc moudrý nejsem, můžeš to vysvětlit nějak míň matematicky?

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2011 11:32

Homogenita výrazu, nerovnosti

#2 29. 04. 2011 11:59

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#3 29. 04. 2011 12:04 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:05)

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#4 29. 04. 2011 12:10

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#5 29. 04. 2011 12:21 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:21)

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#6 29. 04. 2011 12:29

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#7 29. 04. 2011 12:32

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#8 29. 04. 2011 12:38

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#9 29. 04. 2011 12:41 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 12:42)

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#10 29. 04. 2011 12:44

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#11 29. 04. 2011 12:51

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#12 29. 04. 2011 12:54 — Editoval Olin (29. 04. 2011 13:35)

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#13 29. 04. 2011 13:05

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#14 29. 04. 2011 14:44

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#15 29. 04. 2011 15:46

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#16 29. 04. 2011 16:20

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#17 29. 04. 2011 17:31

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

#18 29. 04. 2011 20:00

Re: Homogenita výrazu, nerovnosti

Zápatí