Matematické Fórum

BakyX · 29. 04. 2011 13:08 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 13:09)

Zdravím..Mám tu takúto diofantickú rovnicu, ktorú neviem vyriešiť.

$x^p + 2y^p + 5z^p = 0$

$x,y,z \in Z$ , $p$ je prvočíslo také, že aj $2p+1$ je prvočíslo

Mám dokázať, že existuje len jedno riešenie (x,y,z,p) = (0,0,0, p)

Nemám tušenie, ako toto vyriešiť

Kondr · 08. 05. 2011 23:54

Ahoj,
$x^p$ může dávat po dělení $2p+1$ pouze zbytky $\pm 1$ (Malá Fermatova věta pro prvočíslo $2p+1$ ).
Z čísel $\pm 1$ , $\pm 2$ a $\pm 5$ neumíme poskládat nulu, musíme z nich tedy poskládat násobek $2p+1$ . Ten může být v abs. hodnotě nejvýše $1+2+5$ , tedy $2p+1\leq 8$ což projde pouze pro $p=2$ a $p=3$ . Pro $p=2$ není co řešit (nezápornost čtverců), pro $p=3$ rozebereme mod 7.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2011 13:08 — Editoval BakyX (29. 04. 2011 13:09)

Diofantická rovnica I

#2 08. 05. 2011 23:54

Re: Diofantická rovnica I

Zápatí