Matematické Fórum

BakyX · 19. 05. 2011 18:29

Zdravím..Som tu zasa..Potrebujem pomôcť so súčtom nasledujúceho radu:

$\frac{1}{2}{n \choose 0} + \frac{1}{3}{n \choose 1} + \frac{1}{4}{n \choose 2} +\frac{1}{5}{n \choose 3} + \cdot + \frac{1}{n+2}{n \choose n}$

Skúšal som bežné metódy, čo som sa naučil, teda napísať si ten rad v obrátenom poradí, nepomohlo. Skúšal som nejako zovšeobecniť k-tý člen tak, aby "k" zmizlo pred kombinačného čísla, nepodarilo sa. Skúšal som to niečím násobiť. SKúšal som skombinovať už známe alebo vyriešené súčty radov, nepodarilo. Ďakujem teda za prípadnú pomoc.

Pavel Brožek · 19. 05. 2011 18:44

Zkus si trochu hrát s (1+x)^n, třeba tě něco napadne. Kdyby ne, tak poradím dál.

BakyX · 19. 05. 2011 18:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 19:42)

↑ Pavel Brožek:

Ahoj..Už ma napadlo niečo iné..Zbytočne založená téma..Fakt prepáčte.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A teraz ma zaujíma tvoj postup :)

EDIT: Opravená hranatá zátvorka

Pavel Brožek

↑ BakyX:

$\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac1{k+2}&=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac{t^{k+2}}{k+2}\Bigg|_{t=1}=\\ &=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\int_0^t x^{k+1}\,\mathrm{d}x\Bigg|_{t=1}=\\ &=\sum_{k=0}^n{n\choose k}\int_0^1 x^{k+1}\,\mathrm{d}x=\\ &=\int_0^1 $\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{k+1}$\,\mathrm{d}x=\\ &=\int_0^1 $x\cdot\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^{k}$\,\mathrm{d}x=\\ &=\int_0^1 x\cdot(1+x)^k\,\mathrm{d}x=\ldots$

Integrál už se snadno vypočte pomocí per partes a dostane se výsledek

$\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac1{k+2}=\frac{n\cdot2^{n+1}+1}{(n+1)(n+2)}$ .

Máš tam chybu ve výpočtu té hranaté závorky.

Víc se mi líbí tvůj postup.

BakyX · 19. 05. 2011 19:41

↑ Pavel Brožek:

Jj mám..Má byť trocha posunúta, až za tým kombinačným číslom, nevadí..V každom prípade som konečne vedel aj, čo robím..Ale keď pozerám na tvoje riešenie, vôbec nechápem :D

Ako si tam vytvoril integrál ? Prečo si si ho mohol dať pred sumu ? To je nejaké pravidlo, že to môžem len tak spraviť ? :)

Tvoj postup je vysokoškolský ale dúfam, že sa doň dostanem :)

Ďakujem

Pavel Brožek · 19. 05. 2011 19:50

↑ BakyX:

Nešlo mi o to, že tam máš závorku na špatném místě, to jsem si domyslel. Máš ale špatně sečtený vnitřek závorky.

Rovnost

$\frac{t^{k+2}}{k+2}=\int_0^t x^{k+1}\,\mathrm{d}x$

jistě platí, mohu proto levou stranu nahradit pravou.

Prohodit sumu a integrál můžu, protože integrál je lineární ( $\int (f+g)=\int f+\int g$ ).

BakyX · 19. 05. 2011 19:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 20:05)

↑ Pavel Brožek:

Teda ten súčet nie je rovný $n.2^{2n+1}$ ?

EDIT: Nie je..Ďakujem za upozornenie..Neupravujem to, aby to nemiatlo..

To 2n je preklep a má tam byť "n". Na papiery mám "n" ale tu som sa pomýlil. K tomu vybratiu integrálu..Ty tam tuším máš

$f. \int g$

A to sa rovná aj

$\int f.g$

?

BakyX · 19. 05. 2011 20:14

OK už nič :D

Ďakujem pekne za čas

RUFFRIDE

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

edit: chcel som ti to poslat len na icq ale uz som klikol odoslat tak to tu necham :D

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2011 18:29

Ďalší rad

#2 19. 05. 2011 18:44

Re: Ďalší rad

#3 19. 05. 2011 18:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 19:42)

Re: Ďalší rad

#4 19. 05. 2011 19:27 — Editoval Pavel Brožek (19. 05. 2011 19:33)

Re: Ďalší rad

#5 19. 05. 2011 19:41

Re: Ďalší rad

#6 19. 05. 2011 19:50

Re: Ďalší rad

#7 19. 05. 2011 19:56 — Editoval BakyX (19. 05. 2011 20:05)

Re: Ďalší rad

#8 19. 05. 2011 20:14

Re: Ďalší rad

#9 20. 05. 2011 17:06 — Editoval RUFFRIDE (20. 05. 2011 17:08)

Re: Ďalší rad

Zápatí