Matematické Fórum

mudrnudl

Zadanie:
Napiste rovnice dotycnic danej stredovej kuzelosecky $x^2 + y^2 - x - 2y = 0$ , ktore su kolme na danu priamku $p: 2x - y + 6 = 0$

Myslim, ze pri rieseni nezalezi na tom, co je to za kuzelosecku.
Ale popravde nemam ani sajnu, co s tym urobit.
Jedine, co som zo seba vypotil je smerovy vektor priamky [1,2].

Co mam s tymto typom prikladu vobec robit? Aky je postup?

EDIT:
druhy prispevok na druhej strane tejto temy objasnuje cely postup, pre vsetkych, ktory nechcu riskovat infarkt pri citani mojich chyb
ODKAZ: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=199995#p199995

Phate · 21. 05. 2011 21:15

Tak nejdrive, dokazes zjistit, co to je za kuzelosecku?

mudrnudl

ani nie, ako sa to robi?

ja by som povedal, ze je to kruznica, kde c=0

Phate · 21. 05. 2011 21:22 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:23)

↑ mudrnudl:
Ano kruznice to je. Jak se to dela? Regularni kuzelosecky jsou v podstate tri druhu, parabola, hyperbola a elipsa, kde kruznice je specialni pripad elipsy. Na prvni pohled se to da poznat zhruba takto:
- pokud mam pouze u jedne z neznamych kvadrat a u druhe ne, je to parabola
- pokud je u obou neznamych kvadrat a u obou je kladny, tak to bude bud elipsa nebo kruznice. Pokud bude u obou neznamych stejny koeficient, tak je to kruznice, jinak je to elipsa
- pokud je u jedne z neznamych zaporny koeficient a u druhe kladny, pak je to hyperbola

Zkus tu kruznici dostat do tvaru $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ pomoci doplneni na ctverec, kde $S=[m,n]$ je stred kruznice a $r$ je jeji polomer

mudrnudl

snad som to spravil dobre:

$(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = 9/4$

z toho $r=3/2$ , $S[1/2 , 1]$

EDIT: dalej viem, ze ked mam rovnicu dotycnice a dam ju dokopy s tou kruznicou a ratam ako sustavu, tak D=0, lenze naco mi to je - to neviem

Phate · 21. 05. 2011 21:33 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:34)

$(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = 9/4$
To bohuzel neni dobre, po roznasobeni by ti vyslo $x^2 + y^2 - x - 2y -1= 0$
EDIT: spechejme pomalu, napis zatim tu rovnici kruznice

mudrnudl

jasne moja chyba

bude to

$(y - 1)^2 + x -(1/2)^2 = 5/4$

prepac mi moju zbrklost, dneska som preratal tolko prikladov co vzivote...

EDIT:
malo tam byt
$(y - 1)^2 + (x -1/2)^2 = 5/4$

Phate · 21. 05. 2011 21:43 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:44)

↑ mudrnudl:
EDIT: tusim, jsi tam chtel mit $(y - 1)^2 + (x-1/2)^2 = 5/4$
Ano, tedka dalsi krok, najdi obecnou rovnici primky kolme na $p: 2x - y + 6 = 0$

mudrnudl

nejsom si isty - spravil som si normalovy vektor na kolmy vektor z priamky, co je $[1,2]$

dalej som si do rovnice dosadil $x = -1$ a $y = 4$ , z coho mi vyslo $0 = 0$ , podla mna to znamena, ze bod $A[-1,4]$ lezi na priamke,tak ho mozem pouzit pri doratavani $c$ do vseobecnej rovnice:

$x + 2y + c = 0$
$-1 + 2.4 + c = 0$
$c = -7$

takze ta vseobecna by mala mat tvar:

$q: x + 2y -7 = 0$

ale samozrejme to co pisem nemusi mat ani hlavu ani patu...

Phate · 21. 05. 2011 21:57

↑ mudrnudl:
Prosimte, kde se vzal bod A?

mudrnudl

vymyslel som si ho,
ako si zistim bod na priamke?

edit:alebo ho nepotrebujem?

Phate · 21. 05. 2011 22:05

↑ mudrnudl:
Nepotrebujes zjistovat zadny bod, nechas tu primku zatim obecne. Dokazes napsat primku o ktere vis jen to, ze ma normalovy vektor $[1,2]$ ?

mudrnudl

takze to necham takto?

$q: x + 2y + c = 0$

Phate · 21. 05. 2011 22:09

↑ mudrnudl:
Ano, spravne! Tedka vyuzijeme velmi mazany a vychytany figl. Jelikoz vime, ze tato primka bude tecnou nasi kruznice, tak to hlavne znamena, ze vzdalenost teto tecny od stredu kruznice bude prave polomer kruznice. Vzorecek pro vypocet vzdalenosti bodu od primky v rovine znas?

mudrnudl

doteraz som ho nevedel, musel som ho najst...

nas bude vyzerat:

$\mid r\mid = \frac{\mid -1 + 1 + c\mid}{\sqrt{1+2}}$

$\mid \sqrt{\frac{5}{4}}\mid = \frac{\mid c\mid}{\sqrt3}$

edit: pockaj este to upravim

edit: uz by to malo byt ok

Phate · 21. 05. 2011 22:27 — Editoval Phate (21. 05. 2011 22:27)

↑ mudrnudl:
Ne tak docela. Vzdalenost bodu od primky vypocitame jako $|Sq|=\frac{|aS_1+bS_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , kde $a$ a $b$ jsou koeficienty u x a y v obecne rovnici a $S_1$ a $S_2$ jsou souradnice bodu, od ktereho vzdalenost pocitas. $c$ pak znaci absolutni clen v obecne rovnici, tedy ten bez nezname, bude to jedina neznama v teto rovnici, protoze u nas $q: x + 2y + c = 0$ je to to $c$ . Ve jmenovateli toho zlomku tedy mame velikost normaloveho vektoru, coz je odmocnina z druhych mocnin koeficientu u x a y. Tuto velikost polozime rovnu polomeru kruznice. Dulezita je ta absolutni hodnota v citateli. Zrejme totiz cekame 2 reseni ze? Protoze kdyz mame kudy primka povede, tak ji ke kruznici budeme moci "prilozit" dvemi zpusoby, je to videt? V tom bude dulezita ta absolutni hodnota, ta nam da dva ruzne vysledky pro $c$ a tedy dve rovnobezne primky, ktere se obe budou dotykat kruznice a budou mit smerovy vektor, ktery potrebujeme. Zkus to dopocitat.

mudrnudl

ono by to malo byt uz v poriadku...

a vyjde to:

$\mid c\mid = \frac{\sqrt 15}{2}$

EDIT:
takze vseobecne rovnice by mali tvar:

$q_1: x + 2y + \frac{\sqrt 15}{2} = 0$

$q_2: x + 2y - \frac{\sqrt 15}{2} = 0$

je to spravne?

Phate · 21. 05. 2011 22:45 — Editoval Phate (21. 05. 2011 22:45)

↑ mudrnudl:
Nevyslo to dobre, mame: $|Sq|=\frac{|aS_1+bS_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\frac12+2+c|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt5}{2}$ , kde jsi udelal chybu?

mudrnudl

sak $S[m,n] = [S_1,S_2] = [1,1/2]$
a potom $a = 1$ a $b = 2$ a $c = c$

ked to pocitam vyjde mi:
$\mid r\mid = \frac{\mid -1 + 1 + c\mid}{\sqrt{1+4}}$

$\mid \sqrt{\frac{5}{4}}\mid = \frac{\mid c\mid}{\sqrt5}$

z toho:

$\mid c\mid = \frac{5}{2}$

Phate · 21. 05. 2011 22:53

↑ mudrnudl:
Je to tak, ze $(x-S_1)^2+(y-S_2)^2=r^2$ , vzdy je x-ova souradnice stredu v kvadratu u x a ne u y, tam se stala chyba

mudrnudl

a ja to pocitam naopak!
mas pravdu, takze este raz:

$\mid r\mid = \frac{\mid 1/2 + 2 + c\mid}{\sqrt{1+4}}$

$\mid r\mid = \frac{\mid 5/2 + c\mid}{\sqrt{5}}$

$\mid \sqrt{\frac{5}{4}}\mid = \frac{\mid 5/2 + c \mid}{\sqrt{5}}$

$\mid c\mid = \mid \frac{\sqrt5.\sqrt5}{2} - \frac{5}{2}\mid$

$\mid c\mid = \mid \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\mid$
$\mid c\mid = 0$

???
asi je cas ist spat...

Phate · 21. 05. 2011 23:10 — Editoval Phate (21. 05. 2011 23:11)

↑ mudrnudl:
S temi $\frac52$ nemuzes jen tak vylezt z absolutni hodnoty :), mas:
$\sqrt{\frac{5}{4}}= \frac{\mid \frac52 + c \mid}{\sqrt{5}}$ zkus dostat na jednu stranu abs. hodnotu a na druhou zbytek

mudrnudl

ale ja mam v absolutnej hodnote aj
$\mid\sqrt{\frac{5}{4}}\mid$
alebo nemam ?

ale ty chces asi toto:

$\sqrt{\frac{5}{4}} . \sqrt{5} = \mid 5/2 + c \mid$

$\mid 5/2 + c \mid = \frac{5}{2}$

a z toho jakoze vypliva $c_1 = 0$ a $c_2= -5$

Phate · 21. 05. 2011 23:19 — Editoval Phate (21. 05. 2011 23:24)

↑ mudrnudl:
Ano, to je spravne, ted z toho jeste vypocist c, to uz snad zvladnes. Ohledne te absolutni hodnoty $|Sq|=\frac{|aS_1+bS_2+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ jsem te asi zmatl. $|Sq|$ znamena, ze je to vzdalenost, velikost, ne absolutni hodnota. Za to se omlouvam.
EDIT: bohuzel dneska uz vypinam, tak nemuzu to dal s tebou dopocitat, doufam ze to zdarne dopocitas, kdyztak ti nekdo pomuze, kdyztak, c by ti melo vyjit:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

mudrnudl · 21. 05. 2011 23:22

↑ Phate:
neni sa za co ospravedlnovat, celu dobu mas so mnou trpezlivost, urcite si zasluzis 1000000000 karmy, ale mozem ti dat len 1 a neskor ked si spomenem dalsiu...

rozmyslam, ze spravim na zaver este jeden prispevok, kde dam cely postup spravne, nakolko sa v tomto nevyzna ani boh !

Matematické Fórum

#1 21. 05. 2011 21:12 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 23:53)

Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#2 21. 05. 2011 21:15

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#3 21. 05. 2011 21:17 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 21:22)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#4 21. 05. 2011 21:22 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:23)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#5 21. 05. 2011 21:25 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 21:30)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#6 21. 05. 2011 21:33 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:34)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#7 21. 05. 2011 21:42 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:26)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#8 21. 05. 2011 21:43 — Editoval Phate (21. 05. 2011 21:44)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#9 21. 05. 2011 21:54 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 21:55)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#10 21. 05. 2011 21:57

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#11 21. 05. 2011 22:04 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:05)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#12 21. 05. 2011 22:05

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#13 21. 05. 2011 22:06 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:15)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#14 21. 05. 2011 22:09

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#15 21. 05. 2011 22:18 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:42)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#16 21. 05. 2011 22:27 — Editoval Phate (21. 05. 2011 22:27)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#17 21. 05. 2011 22:33 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:40)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#18 21. 05. 2011 22:45 — Editoval Phate (21. 05. 2011 22:45)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#19 21. 05. 2011 22:51 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 22:54)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#20 21. 05. 2011 22:53

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#21 21. 05. 2011 23:03 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 23:06)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#22 21. 05. 2011 23:10 — Editoval Phate (21. 05. 2011 23:11)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#23 21. 05. 2011 23:14 — Editoval mudrnudl (21. 05. 2011 23:20)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#24 21. 05. 2011 23:19 — Editoval Phate (21. 05. 2011 23:24)

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

#25 21. 05. 2011 23:22

Re: Dotycnice kuzelosecky kolme na priamku

Zápatí