Matematické Fórum

guardarian · 25. 05. 2011 14:11

Ahoj, potřeboval bych poradit s výpočtem objemu tělesa ohraničeného plochami z=0, x+y+z=2 a y=x^2. Pokud možno pomoci dvojného i trojného integrálu. Díky za odpověď.

Rumburak · 25. 05. 2011 14:26

↑ guardarian:
První krok, který je potřeba učinit, je přesně popsat to těleso - tj. ve tvaru

$T =\{\,[x,y,z] \in \mathbb{R}^3 \,:\, V(x,y,z)\, \}$ ,

kde V(x,y,z) je vhodná formule - zpravidla složená z odpovídajících nerovnic. Známe-li již tuto formuli, můžeme pak v mnoha případech
postupovat podle ní již víceméně mechanicky.

guardarian · 25. 05. 2011 14:35

Našel jsem body na rovine z=0 kde se kříží parabola a přímka y=2-x. Podle toho jsem si vyrobil dvojný integrál z fce z=(2-x-y)dydx. Dájí se použít meze 0 až sqrt(x) v dy, a -2 až 1 v dx?

Rumburak

↑ guardarian:
Odpověď na tyto otázky dává ta formule V(x,y,z) .
Podstavou tělesa T v rovině z = 0 bude množina

$M =\{\,[x,y] \in \mathbb{R}^2 \,:\, -2<x<1\, \wedge \,x^2 < y < 2-x \}$ ,

jejíž hranice je složena z jistého oblouku paraboly y = x^2 a jisté úsečky z přímky y = 2 - x , což je průsečnice
roviny z = 0 s rovinou x+y+z=2 (neboli z = 2 - (x+y) ). Vrchol [0, 0] té paraboly leží pod touto naposledy zmiňovanou
rovinou, pokud orientaci souřadnicových os vnímáme tradičním způsobem. Těleso T tedy "vyrůstá ze své podstavy M
směrem nahoru", rovinou z= 0 je ohraničeno zdola, rovinou z = 2 - (x+y) shora. Takže

$T =\{\,[x,y,z] \in \mathbb{R}^3 \,:\, [x,y] \in M \,\wedge\, 0 < z < 2 - (x+y) \}$ ,

neboli

$T =\{\,[x,y,z] \in \mathbb{R}^3 \,:\, -2<x<1\, \wedge\, x^2 < y < 2-x \,\wedge\, 0 < z < 2 - (x+y) \}$ .

Tomu budou odpovídat i parciální integrace po aplikaci Fubiniovy věty:

$\int_T\mathrm{d}V=\int_M\int_{0}^{2-(x+y)} \mathrm{d}z\,\mathrm{d}S = \int_{-2}^1 \int_{x^2}^{2-x}\int_{0}^{2-(x+y)} \mathrm{d}z \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x$ .

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2011 14:11

Objem tělesa ohraničeného rovinami

#2 25. 05. 2011 14:26

Re: Objem tělesa ohraničeného rovinami

#3 25. 05. 2011 14:35

Re: Objem tělesa ohraničeného rovinami

#4 25. 05. 2011 16:04 — Editoval Rumburak (25. 05. 2011 16:25)

Re: Objem tělesa ohraničeného rovinami

Zápatí