Matematické Fórum

BakyX · 07. 06. 2011 15:10

Ak sa niekomu nepozdáva VŠ sekcia, môžete to priemiestniť.

Zdravím..Ďalšia otázka..Nemám poňatia ako to zistiť:

Rozhodnite, ktorý z dvoch mnohočlenov má väčší koeficient pri mocnine x^20 a určte ich.

$F(x)=(1+x^2-x^3)^{1000}\ G(x)=(1-x^2+x^3)^{1000}$

Ďakujem za akúkoľvek radu.

Rumburak

I. Snad někdo příjde s lepším nápadem, ale já bych to pro začátek rozepsal podle binomické věty:

$F(x)=(1+x^2-x^3)^{1000} = ((1+x^2)-x^3)^{1000} = \sum_{n=0}^{1000} {1000 \choose n}(1+x^2)^{1000 - n}(-x^3)^n =\\=\sum_{n=0}^{1000} {1000 \choose n}\left(\sum_{k=0}^{1000 - n}{1000-n \choose k}(x^2)^k\right) (-x^3)^n=\sum_{n=0}^{1000}\,\sum_{k=0}^{1000 - n}{1000 \choose n}{1000-n \choose k}(-1)^n x^{2k + 3n}$ ,

z toho nás dále zajímá součet pouze těch členů, kde 2k + 3n = 20 .

Obdobně pro G(x).

EDIT:

II. Za pokus by možná i stálo zabývat se rozkladem rozdílu G(x) - F(x) podle vzorce

$A^n - B^n = (A-B)(A^{n-1} +A^{n-2}B +A^{n-3}B^2 + ... + B^{n-1})$ .

anes · 07. 06. 2011 17:24 — Editoval anes (07. 06. 2011 17:25)

Co děláš je, že se snažíš z exponentů (0,2,3) nakombinovat 20. 3 je z těch čísel jediné liché, takže v něčem, co dá x^20 musí být (-x^3) vždy "v sudé mocnině". To znamená, že (-) můžeš klidně ignorovat a pracovat s $F(x)=(1+x^2+x^3)^{1000}$
1. otázka pak už není problém :)

BakyX · 17. 06. 2011 12:17

↑ anes:

Ahoj..Ďakujem za odpoveď. Zistil som, že nie je potreba určiť tie koeficienty len zistiť, ktorý je väčší. A je to problém..Môžeš sa prosím rozpísať, ako to teraz zistiť ? Ďakujem

musixx · 17. 06. 2011 12:23 — Editoval musixx (17. 06. 2011 12:41)

Jak bylo správně zdůvodněno, koeficient u $x^{20}$ je v polynomu $F(x)=(1+x^2-x^3)^{1000}$ stejný jako v polynomu $H(x)=(1+x^2+x^3)^{1000}$ .

Porovnávejme tedy ten koeficient u polynomu $H(x)$ a $G(x)=(1-x^2+x^3)^{1000}$ .

V obou dvou zníměných případech to bude součet součinů stejných kombinačních čísel, u $H(x)$ jsou všechna se znaménkem plus, zatímco u $G(x)$ budou i nějaké mínusy. Proto je koeficient u $x^{20}$ v $H(x)$ (a tedy i v $F(x)$ ) větší než koeficient u $x^{20}$ v $G(x)$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

BakyX · 17. 06. 2011 12:48

↑ musixx:

Ďakujem pekne. Ten program je úžašný. Keď to takto napíšeš, tak tomu rozumiem, ale v knihe je oficiálne riešenie uvedené takto:

Mnohočlen H(x)=F(-x) má u párnych mocnín "x" rovnaké koefienty ako mnohočlen F(x). Koeficient pri mocnine x^20 mnohočlenu (1+yx^2+x^3)^1000 je mnohočlen P(y) premenné "y" v tvare c1*y + c2*y^4 + c3*y^7 + c4*y^10 s kladnými koeficientmi c_i. Preto P(1)-P(-1)=2*c1 + 2*c3 > 0.

Tomuto už nerozumiem...

musixx · 17. 06. 2011 12:58 — Editoval musixx (17. 06. 2011 13:03)

c1 až c4 jsou nějaká čísla (ty výše zmíněné součty součinů kombinačních čísel, ale to není podstatné), podstatné je, že kladná, protože v polynomu (1+yx^2+x^3)^1000 proměnné x (kde y je parametr) nemá mínus "jak vzniknout".

Jak se dá x^20 poskládat z x^0, x^2 a x^3? No, x^0 tam může být kolikrát chce, ale jinak:

(x^2)^10 * (x^3)^0
(x^2)^7 * (x^3)^2
(x^2)^4 * (x^3)^4
(x^2)^1 * (x^3)^6

no a s tím x^2 se ještě pojí y na stejnou mocninu. Proto to c1*y + c2*y^4 + c3*y^7 + c4*y^10.

No a y bude jednou +1 a jednou -1. Už je jasné i to vysvětlení z tvé knížky?

BakyX · 17. 06. 2011 13:13

↑ musixx:

Áno..Ďakujem !!! Si skvelý učiteľ :) Si učiteľ ?

musixx · 17. 06. 2011 13:18

↑ BakyX: Nejsem. :-)

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2011 15:10

Určenie koeficientov polynómu II

#2 07. 06. 2011 15:40 — Editoval Rumburak (07. 06. 2011 15:53)

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#3 07. 06. 2011 17:24 — Editoval anes (07. 06. 2011 17:25)

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#4 17. 06. 2011 12:17

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#5 17. 06. 2011 12:23 — Editoval musixx (17. 06. 2011 12:41)

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#6 17. 06. 2011 12:48

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#7 17. 06. 2011 12:58 — Editoval musixx (17. 06. 2011 13:03)

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#8 17. 06. 2011 13:13

Re: Určenie koeficientov polynómu II

#9 17. 06. 2011 13:18

Re: Určenie koeficientov polynómu II

Zápatí