Matematické Fórum

snatchers · 17. 06. 2011 14:34

ahoj potreboval bych poradit s vypoctem Priklad: Urcete vzajemnou polohu primky x-3y+9=0 a kruznice x^+y^=25 (existuje-li spolecne body vypoctete jejich souradnice), je-li primka secna vypoctete delku tetivy

vysvetleni : ^ znamena nadruhou :)
potreboval bych rychle radu sem bezradny a potrebuju to k zavereckam dekuji tomu kdo mi pomuze

janca361 · 17. 06. 2011 14:43

↑ snatchers:
Tohle snad nepatří do základní školy ne?

Cheop · 17. 06. 2011 14:45 — Editoval Cheop (17. 06. 2011 14:46)

↑ snatchers:
Z rovnice přímky si vyjádři např. x a toto dosaď do rovnice kružnice.
Dostaneš tak kvadratickou rovnici a tuto řeš.
a) Pokud bude mít rovnice 2 řešení je to sečna (D>0)( vypočítáš druhou souřadnici průsečíků) a délku sečny jako vzdálenost těch průsečíků
b) Pokud bude mít rovnice 1 řešení (D=0)pak je to tečna a je možno vypočítat souřadnice tečného bodu
c) Pokud nebude mít rovnice řešení (D<0) přímka je vnější přímkou kružnice (nesečna) a tady neurčíš už nic jiného

snatchers · 17. 06. 2011 14:46

↑ janca361:
ja vim ale hazel sem to do stredni skoly a ono to nejak skocilo sem :(

snatchers

↑ Cheop:
no nejak sem se dostal ktomu podle diskriminantu ktery nevm jestli mam dobre kdyz sem do vzorce D=b^-4ac dosadil D=1^-4*1*-5 =21 a pokud mam dobre diskriminant tak je to secna ale dal sem straceny ja uz nevim jak dal pocitat a mam to pocitane s rovnice x^+y^=25

Cheop · 17. 06. 2011 14:59 — Editoval Cheop (17. 06. 2011 15:02)

↑ snatchers:
Když si vyjádříš z rovnice přímky x a dosadíš do rovnice kružnice dostaneš kv. rovnici:
$5y^2-27y+28=0\\y_1=4\\y_2=1,4$
Dopočteme x -ovou souřadnici průsečíků
$x=3y-9\\x_1=3\cdot 4-9\\x_1=3\\3\cdot 1,4-9\\x_2=-4,8$
Prusečíky jsou:
$P_1=(3;\,4)\\P_2=(-4,8;\,1,4)$
Délka sečny bude vzdálenost průsečíků

snatchers

↑ Cheop: $5y^2-27y+28=0\\y_1=4\\y_2=1,4$

diky moc ale potrebuju aj pomoct jak si na to prisel z rovnic x-3y+9 a x^+y^=25

tady nevim jak si prisel na tu kvantovu rovnici prvni radek a vysledky y1 a y2 jinak ostatni chapu

Cheop · 17. 06. 2011 16:45 — Editoval Cheop (17. 06. 2011 17:41)

↑ snatchers:
Rovnice kružnice: $x^2+y^2=25$
Rovnice přímky: $x-3y+9=0\\x=3y-9$ toto dosadíme do rovnice kružnice
$(3y-9)^2+y^2=25\\9y^2-54y+81+y^2=25\\10y^2-54y+56=0\\5y^2-27y+28=0$
Vyřešíme tuto kvadratickou rovnici a tím získáme y - ové souřadnice prusečíků přímky s kružnicí
a) když diskriminat této kv. rovnice D=0 - 1řešení - tečna
b) když diskriminat této kv. rovnice D>0 - 2 řešení - sečna
c) když diskriminat této kv. rovnice D<0 - 0 řešení - vnější přímka
$5y^2-27y+56=0\\y_{1,2}=\frac{27\pm\sqrt{27^2-4\cdot 5\cdot 28}}{10}\\y_{1,2}=\frac{27\pm 13}{10}\\y_1=4\\y_2=\frac 75$
Rovnice má 2 řešení - sečna
Pak se dopočítají x - ové souřadnice průsečíků dosazením do rovnice $x=3y-9$
Po výpočtu budeme mít průsečíky kružnice s přímkou tedy:
$P_1=(3;\,4)\\P_2=(-4,8;\,1,4)$
Přímka je sečnou kružnice (kružnice a přímka mají 2 společné body)
Úkolem je určit délku tětivy tj. vlastně vzdálenost těch průsečíků (dvou bodů)
Délka tětivy:
$d=\sqrt{(3-(-4,8))^2+(4-1,4)^2}\\d=\sqrt{7,8^2+2,6^2}\\d\,\approx\,8,22\\d=\frac{13\sqrt{10}}{5}$