Matematické Fórum

BakyX · 23. 06. 2011 14:24

Zdravím..Tentokrát už mám aj svoje vlastné riešenie, len potrebujem vedieť, či je správné:

Určte všetky polynómy F(x), ktoré vyhovujú rovnosti:

$(x-26).F(x)=x.F(x-1)$

Moje riešenie:

Nech polynóm F(x) má stupeň "n" a čísla "x1, x2, ...,xn" sú jeho koreňmi. Potom môžme rovnosť prepísať nasledovne:

$a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)(x-26)=a_n(x-0)(x-x_1-1)...(x-x_n-1)$

Odtiaľ je vidieť, že koeficient an môže byť ľubovoľné číslo. Mnohočleny rovnakých stupňov sa rovnajú práve vtedy, keď majú všetky korene rovnaké (opravte ma, ak táto veta nie je úplna).

Číslo 26 je teda koreňom mnohočlena na pravej strane, teda nejaký koreň x_k=25. Číslo 25 je tiež koreňom mnohočlena na pravej strane, teda nejaký iný koreň = 24. Keď by sme takto pokračovali, zistíme, že nejaký koreň mnohočlenu na ľavej strane je aj 0, čo očividne sedí.

Korene mnohočlena F(x) sú teda čísla 0,1,2, ...,25, a teda

$F(x)=a.x.(x-1)(x-2)...(x-25)$

Opravte ma ak sa mýlim. Ďakujem

check_drummer · 23. 06. 2011 20:33

BakyX napsal(a):
Odtiaľ je vidieť, že koeficient an môže byť ľubovoľné číslo. Mnohočleny rovnakých stupňov sa rovnajú práve vtedy, keď majú všetky korene rovnaké (opravte ma, ak táto veta nie je úplna).

V podstatě to píšeš o větu dříve - nemusí se rovnat, ale liší se jen o nějaký násobek (to je ono libovolné an).

BakyX napsal(a):
Korene mnohočlena F(x) sú teda čísla 0,1,2, ...,25, a teda

$F(x)=a.x.(x-1)(x-2)...(x-25)$

Je pravda, že kořeny jsou 0 až 25, ale je třeba ukázat, že to jsou opravdu všechny kořeny F (a že žádný není vícenásobný).

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2011 14:24

Rovnosť polynómov znova

#2 23. 06. 2011 20:33

Re: Rovnosť polynómov znova

BakyX napsal(a):

BakyX napsal(a):

Zápatí