Matematické Fórum

twig · 17. 10. 2007 12:29

Cauko vospolok!
Mám dokáza? nejaké vecičky, a neviem čo s tým, helpnete?
1: Dokažte, či zobrazenie f je homomorfizmus lineárnych priestorov, určte jadro a obraz a rozhodnite, či ide o monomorfizmus či epimorfizmus
a) f:R^3 > R^3,(x,y,z) > (2y,3x,0)
b) f:R^2 > R^3,(x,y,z) > (2y,3x,0)
2: Dokažte, že podobné matice majú zhodnú stopu a determinant.
Dik za pomoc :o)

Kondr · 17. 10. 2007 21:21

1)a)
aby to byl homomorfizmus, musí platit
f((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))=f((x1,y1,z1))+f((x2,y2,z2)) a
f(k(x,y,z))=kf(x,y,z), po úpravě
f((x1+x2,y1+y2,z1+z2))=f((x1,y1,z1))+f((x2,y2,z2)) a
f((kx,ky,kz))=kf(x,y,z).
Po dosazení z definice funkce tedy chceme dokázat, že
(2(y1+y2),3(x1+x2),0)=(2y1,3x1,0)+(2y2,3x2,0)
(k.2y,k.3x,0)=k(2y,3x,0)
Tyto rovnosti plynou z vlastností sčítání a násobení skalárem...
Jádro je to, co se zobrazí na nulu, v našem případě množina všech vektorů s nulovým y a x, tedy
{(0,0,t)|t je reálné}
Obraz je množina všech vektorů, na které se něco zobrazí, v našem případě
{(t,u,0)|t,u je reálné}
Monomorfizmus (injektivní homomorfizmus) to není, protože jistě najdeme vektor, na který se zobrazí dva různé vekory. Třeba na (0,0,0) se zobrazí (0,0,0) a (0,0,1).
Epimorfizmus (surjektivní homomorfizmus) to také není, protože na vektor (0,0,1) se nezobrazí nic.

b)f není z R^2... IMHO nějaké divné zadání

2)Dvě matice A,B jsou podobné, pokud
$A=XBX^{-1}$ pro nějakou matici X. Protože determinant součinu je součin determinantů,
$|X|\cdot|X^{-1}|=id_n=1$
$|A|=|X|\cdot|B|\cdot|X^{-1}|=|B|$ (toto už je násobení čísel a ne matic, zde můžeme měnit pořadí).

Co se týče stopy $\operatorname{tr}(XAX^{-1}) = \operatorname{tr}(X^{-1}XA) = \operatorname{tr}(A)$ .
(http://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Alad_macierzy)

Kondr · 18. 10. 2007 19:32

Na základě došlého mailu:
zobrazení b) je (x,y)->(2y,3x,0). Že je lineární se ukáže stejně jako u a).
Epimorfizmus to není, protože na (0,0,1) se stále nic nezobrazí.
Ale monomorfizmus to je, protože na (a,b,0) se zobrazí pouze (b/2,a/3).

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2007 12:29

lineárne zobrazenie

#2 17. 10. 2007 21:21

Re: lineárne zobrazenie

#3 18. 10. 2007 19:32

Re: lineárne zobrazenie

Zápatí