Matematické Fórum

Skrytý text:

1. postup

Zadaná úloha sa najjednoduchšie vyrieši tak, že sa faktoriály v zlomkoch podľa definície faktoriálu rozpíšu, zlomky sa zjednodušia a sčítajú sa zjednodušené zlomky, teda:





Miesto dvoch zlomkov s faktoriálmi sčitujeme teraz upravené zlomky:



2. postup

počítame s faktoriálmi ako s prvkami, nerozpisujeme úplne, len podľa potreby

  potrebujeme dostať oba zlomky na najmenší spoločný menovateľ

Prvý zlomok má menovateľ , teda skrátený zápis čísla , druhý zlomok má menovateľ , teda skrátený zápis čísla



Pri porovnaní menovateľov vidno, že najmenší spoločný ("rovnaký") menovateľ je číslo  . Prvý zlomok stačí rozšíriť číslom 5 a menovatele už budú rovnaké:

, použili sme pravidlo o sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi a menovateľ  sme skrátili na zápis
____________________________________________________________________________________

V čitateli posledného zlomku teraz treba sčítať  5 kusov 3faktoriálu  a  jeden kus 4faktoriálu.

Sčitovať sa ale dajú iba rovnaké "veci", teda rovnaké faktoriály, teda 5 kusov 3faktoriálu možno sčítať iba s nejakým množstvom 3faktoriálov.

"Našťastie"  z definície faktoriálu  sa 4faktoriál  dá vyjadriť pomocou 3!, a síce , pričom časť je definícia 3faktoriálu.

Platí teda:

. Znamená to, že miesto môžeme písať , teda je presne to isté ako

Tieto 4 kusy 3faktoriálu (keď Ti niekto dá 4-krát 3!, čiže , budeš mať 4 kusy 3faktoriálu) už dokážeme sčítať s piatimi kusmi 3faktoriálu , bude to spolu  9 kusov 3faktoriálu, lebo sme trifaktoriál dostali najprv päťkrát, potom ešte štyrikrát, teda spolu deväťkrát.

"Matematicky":     (päťkrát trifaktoriál a ešte štyrikrát trifaktoriál je deväť trifaktoriálov)

Dosadíme (nahradíme v čitateli zlomku 4!) a dostaneme:



Pretože je v čitateli posledného zlomku súčin (samé násobenie, žiadne + ani - medzi dvoma alebo viacerými číslami), môžeme faktoriály rozpísať a rovnaké činitele (čísla) v čitateli a menovateli vykrátiť (vynechať):



Výsledok rovnaký ako pri postupe 1.

Poznámka:

Postup 2 je dobrým cvičením pre pochopenie vlastností faktoriálov a počítania s nimi, môže byť užitočný ako príprava pre riešenie  úloh s faktoriálmi, ktoré nie sú čisto numerické (číselné). Na riešenie ("zistenie výsledku") danej úlohy je ale najrozumnejšie využiť postup 1.