Matematické Fórum

Ahoj,

toto je spíše na pomezí středoškolské a vysokoškolské matematiky (implementuji na PC), ale přiznám se, že jsem ji po 14 dnech stále "elegantně nevyřešil" (sláva a čest tomu, komu se to podaří jako prvnímu):

Mám čtyřstěn daný 4 body od souřadnicích Ai=[xi,yi,zi] kde i je postupně 1,2,3,4...tak, že vím dle pořadí zadaných bodů jak zkonstruovat normálu ke každé stěně směřující vně (tj. analogie zadávání čtyřstěnů v MKP).

úkol: napište obecný předpis pro trojný integrál objemu takto zadaného tělesa...(Upozornění: nejde ani tak o objem samotného čtyřstěnu, který lze spočítat jedním vektorovým součinem zkombinovaným se skalárním podělený navíc šesti), ale opravdu o to, jak co nejpřesněji projít daný objem a neprocházet zbytečně mnoho prostoru vně tělesa.

Nejpalčivější: jak z takto zadaného čtyřstěnu explicitně spočítat hranice integrálu od do... (čtyřstěn daný nulou a třemi body na osách, tj s jedním  kolmým vrcholem je všude rozebírané téma, ale obecný čtyřstěn? kdo ví?).

Mé řešení na PC bylo následující: zjistil jsem si pro každou osu nejmenší a nejvyšší zadanou souřadnici z čehož mi vznikla "opsaná" krychle/kvádr, kterou jsem poté procházel do sebe třemi vloženými FOR cykly celý objem krychle/kvádru s malým krokem ve všech úrovních průchodu a zjišťoval jsem, zda-li je zkoumaný bod uvnitř čtyřstěnu.

To jestli jsou body uvnitř čtyřstěnu zjistím tak, že si pro každou stěnu čtyřstěnu vytvořím normálový vektor tak, aby směřoval vně tělesa (event dovnitř). Poté zjistím vzdálenost aktuálního zkoumaného bodu od čtyř stěn (vzdálenost bodu od roviny je triviální úloha popsaná například na wiki), vyjdou-li všechny vzdálenosti <=0(event.>=0), pak je bod vnitřním a přičtu jej k určité sumě, kterou pak vynásobím krokem na třetí. Zjemňováním kroku změřím/odhadnu asymptotu, kterou je sledovaný objem...

Nicméně daný výpočet výrazně začne časově narůst při zjemňování kroku...bodejť by ne-to je mi ale překvapení, když počet průchodů vzroste v poměru zmenšení kroku na třetí. Jeli v obecném vzorečku pro objem jehlanu koeficient 1/3, tak mám tezi, že když nebudu počítat nějakou výpočetní režii navíc před započetím trojných for cyklů (analogie trojného integrálu), tak bych teoreticky mohl ušetřit 2/3 času potřebného na výpočet a to by bylo docela znát. Hlavně v případech, kdy již nejde o jeden čtyřstěn, ale tisíce např v případě MKP.

K cíli nevedla ani strategie pootočit a posunou si prostor tak, aby jedna podstava ležela v jedné ze základních rovin kartézkého prostoru, kdy jsem pak nebyl schopen dostat zpět všechny odpovídající kartézké souřadnice původního průchodu.

POMŮŽETE MI S TÍMTO NĚKDO PROSÍM, PROSÍM...třeba na to přijdu, ale to může s mým iq a znalostmi matematiky trvat i půl roku a to může být na moji úlohu pozdě....

Zdraví...

Pavel