Matematické Fórum

jihos · 17. 10. 2007 21:31

Jsem jiz trochu dele z vysoke a potreboval bych pro kamarada spocitat par veci

1. sečtěte ...... $\sum_{k=1}^n (-1)^k\cdot k$

2. sečtěte ...... $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$

nějak jsem tyhle základní věci již pozapomněl.

díky

Marian · 17. 10. 2007 21:53 — Editoval Marian (17. 10. 2007 23:05)

Mas v postate dve moznosti, jak celou vec provest. Nebo spise ja mam dve moznosti (prinejmensim), jak celou vec matematicky korektne dokazat. Prvni moznost je vysvetlit, jak takove sumy pocitame, nebo druha moznost, nevysvetlovat nic, rici jaky je vysledek a dokazat obe vyrcena tvrzeni pomoci matematicke indukce. Prvni varianta mi pripada rozumnejsi. Vyjadrim se k ni nize.

Nejprve se vyjadrim k rade $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ .
Budu predpokladat, ze cislo $n$ je je prirozene, tedy $n\in\mathbb{N}$ . Pouziva se v tomto pripade nejcasteji tzv. teleskopicke scitani. K tomu provedeme rozklad sumandu na parcialni zlomky:
$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},\qquad\forall k\in\mathbb{N}$ . Proto mame
$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right )=\nl \left (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right )+\left (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right )+\left (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right )+\cdots +\left (\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right )+\left (\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right )=\nl \frac{1}{1}\underbrace{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}_{=0}\underbrace{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}_{=0}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n-1}\underbrace{-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}}_{=0}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1},\qquad\forall n\in\mathbb{N}$ .

U rady $\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\cdot k$ bude pocitani vice. Za timto ucelem vyresim situaci obecnejsi. Opet necht $n\in\mathbb{N}$ . Budeme pozorovat radu
$\sum_{k=1}^{n}x^k$ ,
coz je funkce promenne x; proto definuju
$f(x):=\sum_{k=1}^{n}x^k$ .
To je soucet prvnich n clenu geometricke posloupnosti. Navicpokud je $x=1$ , soucet se snadno najde, totiz plati
$f(1)=\sum_{k=1}^{n}1^k=\sum_{k=1}^{n}1=\underbrace{1+1+\cdots +1}_{n-{\rm krat}}=n$ .
Je-li $x\neq 1$ , najdeme vzorec pro soucet prvnich n clenu geometricke posloupnosti napriklad v tabulkach (dukaz delat nebudu). Plati tedy
$f(x)=\sum_{k=1}^{n}x^k=\left \{ \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\quad x\neq 1,\nl \nl n\qquad\qquad x=1. \right.$

Pripad f(1)=n je pro nas nezajimavy -- ukaze se to pozdeji. Funkci f(x) nyni budeme derivaovat, tedy
$f^{\prime}(x)=\left (\sum_{k=1}^{n}x^k\right )^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}\left (x^k\right )^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot x^{k-1}$ .
Z toho snadno plyne
$x\cdot f^{\prime}(x)=x\cdot\sum_{k=1}^{n}k\cdot x^{k-1}=\sum_{k=1}^{n}k\cdot x^{k}$ .
Na druhou stranu ale musi pro $x\neq 1$ platit
$f^{\prime}(x)=\left (\frac{x^{n+1}-1}{x-1}\right )^{\prime}\quad{=}\limits^{\rm po upravach}\quad \frac{nx^n(x-1)+1-x^n}{(x-1)^2}$ .
To vynasobim nyni x-em a porovnam s vyrazem $x\cdot f^{\prime}(x)$ vyse. Proto
$\color{red}{}x\cdot f^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{n}x^k\cdot k=\frac{x}{(x-1)^2}\cdot\left (nx^{n}(x-1)+1-x^n\right ).$
Konecne si staci vsimnout, ze hledana rada $\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\cdot k$ neni nic jineho nez hodnota funkce $x\cdot f^{\prime}(x)$ v bode $x=-1$ . Dosadis-li do cervene oznacene rovnice, mame uzavreny tvar konecneho souctu $\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\cdot k$ . Tudiz po upravach
$\sum_{k=1}^{n}(-1)^k\cdot k=\left (\frac{n}{2}+\frac{1}{4}\right )\cdot (-1)^n-\frac{1}{4}$ .

Hotovo.

jihos · 17. 10. 2007 21:55 — Editoval jihos (17. 10. 2007 22:26)

chytreho popostrc, hloupeho kopni

a ja myslel, ze to jsou nejake lehke prikladky na rozehrati

jihos · 17. 10. 2007 22:46

Nevede k cíli jednodušší cesta??? nemyslím si, že na začátkuk prváku by uměli derivace, i když i za mně gympláci derivace uměli a my z průmky jsme byly v kopru :-/

Kondr · 17. 10. 2007 22:56 — Editoval Kondr (13. 06. 2008 13:44)

No jde se na to podívat i tak, že uzávorkuješ po sobě jdoucí členy. Je třeba to rozdělit na sudé a liché n
pro n=2t
(-1+2)+(-3+4)+...+(-(2t-1)+2t), což je t závorek, každá s hodnotou 1, výsledek je t=n/2
pro n=2t+1
(-1+2)+(-3+4)+...+(-(2t-1)+2t)+(-1)(2t+1), což je užitím předchozího výsledku t-(2t+1)=-t-1=-n/2-1/2

Jinak pokud bychom počítali ten Marianův obecnější příklad $S(n)=\sum_{k=1}^{n} kx^k$ , stačí využít vztahů
$S(n)=\sum_{k=1}^{n} kx^k$
$xS(n)=x\sum_{k=1}^{n} kx^k=x\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)x^{k-1}=\sum_{k=2}^{n+1} (k-1)x^k$ ,
odečtením
$(1-x)S(n)=x+(\sum_{k=2}^{n}x^k)-nx^{n+1}$ ,
odtud dokončíme pomocí vzorce pro geometrickou posloupnost.

@Marian: trik s derivací je pěkný, přidám do sbírky ;)

Marian · 17. 10. 2007 22:57 — Editoval Marian (17. 10. 2007 23:04)

Tak me to napadlo proste. Bez derivaci je to sice mozne dokazat, ale hrabal bych se patrne asi jeste vice. Ale to reseni skutecne existuje. Vzpominam si na dva postupy, jak to provest bez derivace. Dnes to uz ale nechci hledat. Navic nekteri mne mohou popotahovat za vyse uvedeny postup, protoze jsem nedokazal vzorec pro soucet prvnich n clenu geometricke posloupnosti. Ale oni to urcite zkousnou.

Navic me jeste napada, ze by to slo snad uhadnout hypotezu, ja se chova ta zkoumana suma pomoci slabe indukce a vse by se pak muselo dokazat uplnou matematickou inducki. Ale to je loterie (to uhadnuti myslim). Reseni s derivaci je primejsi a ty derivace nejsou az tak tezke. Problemy muze pak snad cinit jeste sumacni znak, ale i to asi dlouho problem nebude.

Marian

[edit]

@ Kondr:

To je jeden z tech postupu, ktery jsem myslel.
===================================

@ jihos:

Lamu temer vsechny podobne veci pres derivace a integraly, klidne i v komplexni promenne. Sumy me proste bavi. Snad to nebylo na skodu a da se i ten muj postup pochopit.

PS: Vypocet jsem kontroloval jen zbezne. Pokud tam bude chyba, opravim pri prvni volne chvilce.

jihos · 17. 10. 2007 23:00

uf, na CVUTu nás naštěstí tímhle netrápili, zlaty derivace a integraly, tyhle sumy, zobrazeni a logika mne desi :-)

jihos · 17. 10. 2007 23:02

a dekuji a jdu spat

Matematické Fórum

#1 17. 10. 2007 21:31

Sumy

#2 17. 10. 2007 21:53 — Editoval Marian (17. 10. 2007 23:05)

Re: Sumy

#3 17. 10. 2007 21:55 — Editoval jihos (17. 10. 2007 22:26)

Re: Sumy

#4 17. 10. 2007 22:46

Re: Sumy

#5 17. 10. 2007 22:56 — Editoval Kondr (13. 06. 2008 13:44)

Re: Sumy

#6 17. 10. 2007 22:57 — Editoval Marian (17. 10. 2007 23:04)

Re: Sumy

#7 17. 10. 2007 23:00

Re: Sumy

#8 17. 10. 2007 23:02

Re: Sumy

Zápatí