Matematické Fórum

Ahoj, u prvního obrázku myslím, že správně je b) a c).

↑ xy2000:

V prvnim priklade je a) spatne a b) je spravne.

↑ halogan: v prvním příkladě by e) nemělo být správně?

možná bereš jako inflexi i případ, kdy f'''(x)=0? my brali jako nutnou podmínku třetí derivaci nerovnou nule

↑ xy2000:

1. serie
(a) spatne (je-li funkce rostouci, derivace vubec nemusi existovat);
(b) spravne (plyne z konvergence posloupnosti (1+1/n)^n);
(c) spravne;
(d) spatne;
(e) spatne (napr. funkce f(x)=x^4 v bode x=0 nema inflexi, ale plnuje uvedene predpoklady).
_____________________________________

2. serie

(a) spatne (uvazime napr. mnozinu . Tato je zdola omezena (napr. nulou), ale minimum neexistuje - existuje pouze infimum a plati );
(b) spatne (napr. funkce f(x):=0 ma derivaci spojitou, presneji f'(x)=0, ale f(x) neni ryze monotonni (je totiz konstantni));
(c) spatne (viz 1e);
(d) spravne (z definice extremu);
(e) spravne (neni receno, o jakou limitu se jedna (tedy jestli o vlastni nebo nevlastni). Mohou nastat celkem tri pripadz pro aritmetickou posloupnost: (i) konstantni => existuje limita vlastni, (ii) klesajici => limita je nevlastni -oo, (iii) rostouci => analogicky jako v (ii));
_____________________________________

3. serie

(a) spatne (napr. funkce f(x)=0 splnuje f(x)=-|f(x)|, ale neni prosta - je konstantni);
(b) spatne (napr. geometricka posloupnost dana jako a_1:=1, q=-1 je oscilujici, limita neexistuje);
(c) spravne;
(d) spravne;
(e) spatne (totiz po uprave a_n=n+1; posloupnost tedy diverguje);
_____________________________________

4. serie

(a) spatne (napr. f(x):=x^3);
(b) neuplne;
(c) spatne (viz 3b);
(d) spravne (funkce tam totiz roste);
(e) spravne;
_____________________________________

5. serie

(a) spravne (viz hlavni veta o monotonnich ciselnych posloupnostech);
(b) spatne (napr. funkce f(x):=sgn(x) a g(x)=-sgn(x) => f(x)+g(x)=0, coz je funkce spojita v bode x=0, ackoliv f(x) i g(x) jsou nespojite v bode x=0);
(c) spravne (ctu-li to spravne, tedy ze f(x):=|x|/x. Plati napr. -2<f(x)<2);
(d) spatne (jestlize f'(x)=1, pak f(x)=x+C. Pokud by platilo f(2)<f(1), bylo by to ekvivalantni 2+C<1+C, odkud 2<1, SPOR!);
_____________________________________

6. serie

(a) spatne (staci spocitat v bode x=1 jednostranne limity, napr. pomoci l'Hospitalova pravidla);
(b) spatne (napr. funkce sgn(x), ale nikoliv invertibilni na maximalnim definicnim oboru);
(c) spatne (viz 2e(ii) a 2e(iii));
(d) spravne;
(e) spravne;
_____________________________________

7. serie

(a) spravne (EDIT "za predpokladu, ze existuje prvni derivace f'(x) na uvedenem intervalu");
(b) spatne (nemusi dokonce existovat derivace vubec, natoz schavalit, ze existuje a rovna se nule);
(c) spatne (napr. f(x):=x^3);
(d) spatne (napr. f(x):=x^4);
(e) sravne (plyne z existence vlastni limity uvazovane posloupnosti);
(f) sparvne (jestlize totiz x=3.14 => x=314/100, coz je jiste racionalni cislo, tedy prvek mnoziny Q);
_____________________________________

8. serie

(a) |
(b) |
(c)  > NECITELNE
(d) |
(e) |
_____________________________________

9. serie

(a) spatne (funkce prosta muze byt monotonni, ale take nemusi byt; nelze tedy obecne psat zaver, ze funkce prosta neni monotonni);
(b) spravne (viz 6e);
(c) spravne (viz 6d);
(d) spatne;
(e) spatne (staci spocitat jednostranne limity, ktere vyjdou vlastni).
_____________________________________

Poznamky.

(1) Ta zadani jsou na mnoha mistech nejasna. Neni mi vubec jasne, co autor techto dotazu mini pojmem limita. Lze tedy obe moznosti, a to vlastni i nevlastni.
(2) Definujeme-li posloupnost, je zapotrebi ucinit nekolik kroku k tomuto ucelu. Totiz tyto:
     (a) definovat n-ty clen obecne,
     (b) definovat indexovou mnozinu.
Toto jednoznacne chybi. Neni tedy vubec jasne, zda se jedna o posloupnosti konecne ci nekonence a neni tedy zajistena smysluplnost pojmu konvergence.
(3) V serii 1e je spatne odsazeni. Text je prilis vlevo, tedy blizko "cislovani" druhe urovne.
(4) Sekce 7 v puvodnim prispevku je praktickou ukazkou toho, jak nema vypadat matematicky text!

Děkuji za odpovědi, ale pořád si nejsem jistý... Dal jsem to opravit ještě jednomu člověku co učí na vysoké škole a ten mi řekl, že má tvrzení jsou správná, tak teď opravdu nevím :-)
Opravdu si myslíte a stojíte za odpověďmi co jste uvedl?

Marian napsal(a):

↑ xy2000:

Stojim si za tim. Pokud jsou nejake nejasnosti nebo nejaka sporna mista, rad prijmu diskuzi. Pokud jsem se v nekterych bodech mylil, pak ukazte ve kterych a uvedte kontrapriklad, popr. dokazte sva tvrzeni.

Tak třeba hned 1. e)  to si myslím, že je správně i ve slajdech z přednášek je tam, že druhá derivace rovna nule má v bodě x inflexi.

↑ xy2000:

Holy nesmysl! Celkem by me zajimalo, kdo Vam prednasi a co studujes. Dost by me mrzelo, kdyby nekdo z vyucujicich matematiky na VŠ schvalil, ze 1e je pravda!

Uvedom si, ze nestaci jen "si myslet". Potrebuju k diskuzi padne argumenty a hlavne definice. Neodvolavej se, prosim, na slajdy z prednasky. Kdo vi, kdo je psal, popr. kolik tam je chyb. Ber v uvahu proverene knihy. V cestine treba Jarnikuv Diferencialni pocet I, ze zahranicnich neco od Springeru (mnoho skvelych knih), etc.

Uvedu ti pro jistotu definici inflexniho bodu z Jarnikova Diferencilniho poctu I (NČSAV, Praha 1955):
___________
Inflexni bod. Funkce f(x) necht ma v bode x_0 derivaci. Necht existuje cislo tak, ze plati jeden z techto pripadu:
I. Budto lezi bod pro pod tecnou (mysleno ke krivce y=f(x), moje pozn.)

a pro nad ni.
II. Nebo lezi bod pro nad tecnou

a pro pod ni.
Pak rikame, ze funkce f(x)  ma v bode inflexni bod.
___________

Vemes-li v uvahu napr. funkci f(x)=x^4, mas jasne spor s definici inflexniho bodu (v tomto pripade padalo podezreni na bod x_0=0). Totiz body podezrele z inflexe jsou takove, ze prvni derivace v techto bodech existuje a druha derivace v tomto bode je nulova nebo neexistuje. Zaruku, ze vybrany kandidat je ten spravny, nemas. To se pak da zjistit napr. z chovani znamenka druhe derivace. Ale tyto veci se berou vetsinou i na stredni skole technickeho charakteru nebo na gymnaziich.


Zkus dokazat korektne, ze nemam pravdu. Pak opravim sve reseni v pripade 1e.

↑ Marian:

V jakemkoliv tematu, kde se objevujete vy, si nejsem naprosto jisty nicim :) Viz. vcerejsi logaritmy atp.

↑ Marian: Je to tak, já si spletl definici inflexního bodu -- hanba mi :)

Nicméně trochu offtopic: zaujala mě Jarníkova definice, která používá slovní spojení "Nech? ...., pak .....", což ve mně vyvolává dojem implikace. Neměly by alespoň formálně být definice ve tvaru ekvivalence? Z Jarníkovy definice není úplně jasné, zda neexistují nějaké body, které jsou inflexní, ač předpoklad neplatí. Nesetkal jsem se s takovým zápisem poprvé :)

takže výsledky jsou správně a děkuji.
Jen bych se chtěl ještě zeptat ma tohle:





f"(x) + nekonečno --> f není spojitá v bodě x

f má lokální minimum v bodě x --> f´(x)= 0

co je správně ?

posloupnost sin n/n je omezena, protoze |sin n|<=1 a n ti roste takrikajec "nade vsechny meze", tudiz muzeme udelat odhad:

sin n/n <= |sin n|/n <= 1/n (omlouvam se za neTEXovy zapis)

f''(x) =+oo --> fce nespojita v x neplati --> ted nechci tahat z rukavu fce, o kterych si nejsem jisty, ze to plati, ale da se na to prijit takto: muzeme sestrojit fci f'(x) se skokem v bode a (jinak spojitou), pro kterou plati, ze f''(a)=+oo, to lze - ale jelikoz je f'(x) na nejakem okoli bodu a konecna, tak tam je f(x) spojita (protoze f(x) je na tom okoli diferencovatelna - ma konecnou derivaci)...

pokud ma f lokalni extrem v nejakem bode, pak derivace ani nemusi existovat (prinejmensim lze vytvorit takovou nespojitou fci)

↑ Tomsus:

↑ sneakfastovi: slo ale o definice, nikoliv o vety nebo lemmata.