Matematické Fórum

Tomsus · 25. 06. 2008 13:15

↑↑ Marian:

Aha :-)
A ta absolutni hodnota me taky mohla napadnout.. :-/

xy2000 · 30. 06. 2008 15:01

Ještě malý dotaz........

f" (x) = 0 ma v x inflexi.

ted jsem narazil na tuto větu:

(Postačující podmínka existence inflexe) Nech? má funkce f v bodě x0 ? Df deri-
vaci druhého řádu a nech? f''(x0) = 0. Jestliže f'''(x0) 6= 0, pak má funkce f v x0 inflexi.
Poznámka: Body podezřelé z inflexe jsou body, v nichž je druhá derivace nulová a body, v nichž druhá derivace neexistuje.

Takže je to správně nebo není ?

Marian · 30. 06. 2008 15:06

↑ xy2000:

xy2000 napsal(a):
... Jestliže f'''(x0) 6= 0, pak ...

Nechapu tento zapis. Zkus to nejak objasnit.

xy2000 · 30. 06. 2008 15:12

nebo na téhle adrese :

http://www.sweb.cz/kma.me/derivace+prubeh.pdf

když si necháte vyhledat ,, inflexe ,,

skočí to na tuto větu :

Věta 6.7 (Nutná podmínka existence inflexe) Nech? má funkce f v bodě x0 ∈ df inflexi a
nech? existuje (vlastní nebo nevlastní) f′′(x0). Potom f′′(x0) = 0.

xy2000 · 30. 06. 2008 15:18

Nebo taky věta :

Pokud má f na celém (a, b) druhou derivaci, inflexe může nastat pouze v bodě,
kde f"(x) = 0—to je „podezřelý bod. Zda inflexe opravdu nastává, rozhodneme
podle intervalů ryzí konvexnosti a konkávnosti dané funkce. Všimněte si analogie
s hledáním lokálních extrémů. Tam nás zajímaly nulové body a znaménko první
derivace. Zde nás zajímají nulové body a znaménko druhé derivace.

jelena · 30. 06. 2008 19:31

↑ xy2000:

Zdravim :-)

Zrejme navazujes na debatu o inflexnim bode - puvodni zadani 1e?) nebo obecne k inflexnimu bodu?

Tento nesrozumitelny zapis f'''(x0) 6= 0 je zrejme nestastne kopirovan z nejakeho textu, kde v puvodnim zneni je to, že treti derivace se nerovna 0. Ano, pokud existuje 2. derivace, ktera se rovna 0 a následná derivace (treti) se nerovna 0, bod podezrely z inflexe oznacujeme za inflexni bod. Postup overovani inflexniho bodu pomoci vyssi derivace je v poradku.

Dalsi poznamka (tvuj prispevek 29) mluvi o nutne podmince, to znamena, ze inflexe nastal, druha derivace existuje a pokud tomu tak je, tak ta derivace bude 0.

A stejne tak posledni poznamka (prispevek 30) rika, ze druha derivace existuje, je nulova, ale pro overeni - zda inflexni bod nebo ne, je potreba overovat zmenu znamenek.

Protipriklad k bodu 1e)
- kdyz uvadime funkci f(x)= x^4 je o necem jinem a je navazan na zneni zadani, ktere jednoznacne tvrdi dostatecnost, ze 2. derivace je nulova. neni to dostacujici. Tato funkce je dukazem toho, ze ani existence 2. derivace, ani to, ze 2. derivace je nulova nestaci za prohlaseni bodu "inflexnim". je potreba jeste bud overit pomoci nenulove 3. derivace nebo zmeny znamenka 2. derivace pri prechodu pres inflexni bod. Zkus to overiz a uvidis, ze pekny predpoklad povazovat x=0 za inflexni bod jednoduse nestaci a neni dolozen. Je to dobre videt i na grafu funkce f(x)= x^4, ze tam inflexni bod neni.

Ja to urcite neumim vysvetlovat tak pekne a odborne, jako Marian. Muj vyklad vychazi z primerene (daleko ne perfektni :-) znalosti definici a hlavne z jejich praktickeho pouziti.

Opravdu je dobre, ze se ptas nebo pochybujes, nektere formulace jsou tezke, obtizne pochopitelne a uchopitelne.

Marian · 30. 06. 2008 19:44 — Editoval Marian (30. 06. 2008 19:59)

↑ xy2000 (#27):

Budu predpokladat, ze onim zvlastnim znakem jsi mel namysli nerovnitko.

V predpokladech toho tvrzeni je, ze ma existovat derivace druheho radu v bode x_0, tedy derivace f''(x_0). To implikuje existenci derivace prvniho radu f'(x_0). Take se redpoklada, ze derivace f'''(x_0) existuje a je ruzna od nuly. Pro derivaci f''(x) mohou v delta-okoli bodu x_0 nastat tyto pripady:

$\mathrm{(a)}\quad x_0-\delta <x<x_0\Rightarrow f''(x)>0\;\mathrm{a}\; x_0<x<x_0+\delta\Rightarrow f''(x)>0,\nl \mathrm{(b)}\quad x_0-\delta <x<x_0\Rightarrow f''(x)<0\;\mathrm{a}\; x_0<x<x_0+\delta\Rightarrow f''(x)<0,\nl \mathrm{(c)}\quad x_0-\delta <x<x_0\Rightarrow f''(x)>0\;\mathrm{a}\; x_0<x<x_0+\delta\Rightarrow f''(x)<0,\nl \mathrm{(d)}\quad x_0-\delta <x<x_0\Rightarrow f''(x)<0\;\mathrm{a}\; x_0<x<x_0+\delta\Rightarrow f''(x)>0.$

(a) Pokud existuje vlastni derivace f'''(x_0), pak funkce f''(x) je hladka na D(f). Dale rozlisim dva pripady:
(i) f'''(x_0)>0, pak funkce f''(x) roste v delta-okoli bodu x_0. Protoze ale existuje nulovy bod teto funkce (f''(x_0)=0), pak nutne v levem okoli je funkce zaporna (spor s predpokladem o kladnosti) a v pravem je kladna. To je ale SPOR! Tedy tento pripad nenastava.
(ii) f'''(x_0)<0 analogicky jako (i).

(b) Analogicky jako v pripade (a).

(c) Podobnymi argumenty jako v pripadech (a) a (b) lze ukazat, ze pripad (c) je mozny. Nastane-li tedy popsany pripad, je f''(x) v levem delta-okoli kladna a v pravem zaporna. Proto funkce f(x) je konvexni na levem delta-okoli bodu x_0 a konkavni na pravem delta-okoli bodu x_0. Odtud a z existence vlastni prvni derivace f'(x_0) plyne inflexe funkce f(x) v bode x_0.

(d) Analogicky jako v (c).

Uvaha se jeste dokonci tim, ze se bere potaz take fakt, ze f'''(x_0) je nevlastni. I toto funguje obdobne jako vyse.

xy2000 · 30. 06. 2008 20:03 — Editoval xy2000 (07. 07. 2008 18:54)

Mám tady ještě jedno zadání. A podle mě je správně A,D je to pravda ?

Matematické Fórum

#26 25. 06. 2008 13:15

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#27 30. 06. 2008 15:01

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#28 30. 06. 2008 15:06

Re: Která tvrzení jsou správná ?

xy2000 napsal(a):

#29 30. 06. 2008 15:12

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#30 30. 06. 2008 15:18

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#31 30. 06. 2008 19:31

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#32 30. 06. 2008 19:44 — Editoval Marian (30. 06. 2008 19:59)

Re: Která tvrzení jsou správná ?

#33 30. 06. 2008 20:03 — Editoval xy2000 (07. 07. 2008 18:54)

Re: Která tvrzení jsou správná ?

Zápatí