Matematické Fórum

Neetta · 27. 06. 2008 11:32

Ahojda, mám příklad, se kterým si nevím vůbec rady. Byl by tu někdo, kdo by mě ho celý spočítal a vysvětlil prosím? Nebo není někde na netu nějaký program, který to vypočítá a ukáže i postup?

Př. Lineární zobrazení U V2(R) -> V2(R) je projekcí V2(R) na osu y, v lineárním zobrazení T V2(R) -> V2(R) je T(2,3) = (3,9) T(-1,2) = (-5,-1)
a) určete všechny vektory β Є V2(R), které se ve složeném zobrazení T*U zobrazí na vektor (10,20)
b) určete jádro Ker (T^-1)*U

Marian · 30. 06. 2008 16:15 — Editoval Marian (30. 06. 2008 16:21)

Projekce (tzv. komponenta) na osu y, tedy zobrazeni U, je dano takto:
$U:\; (a,b)\mapsto (0,b).$

U zobrazeni T je znamo, ze T(2,3)=(3,9) a T(-1,2)=(-5,-1). Zjistime jeste, kam se zobrazi bazicke vektory (0,1) a (1,0). Protoze zobrazeni T je linearni (tedy homogenni a aditivni), z faktu

(0,7)=(2,3)+2*(-1,2)

mame
$7\cdot T(0,1)=T(0,7)=T(2,3)+2\cdot T(-1,2)=(3,9)+2\cdot (-5,-1)=7\cdot (-1,1)\Rightarrow T(0,1)=(-1,1).$

Podobne z identity

(7,0)=2*(2,3)-3*(-1,2)

je
$7\cdot T(1,0)=T(7,0)=2\cdot T(2,3)-3\cdot T(-1,2)=2\cdot (3,9)-3\cdot (-5,-1)=(21,21)\Rightarrow T(1,0)=(3,3).$

Odtud snadno
$T(a,b)=a\cdot T(1,0)+b\cdot T(0,1)=(3a-b,3a+b),\quad\forall (a,b)\in\mathbb{R}^2.$

Podobne se urci i inverzni zobrazeni T^-1 k zobrzeni T. Bude
$T^{-1}(a,b)=\left (\frac{a}{6}+\frac{b}{6},-\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right ).$

(a) Slozene zobrazeni $T\circ U$ lze take zapsat jako $T\circ U\, (a,b)=T(U(a,b))$ . Z vlastnosti vyse je ale

$T\circ U\, (a,b)=T(U(a,b))=T(0,b)=(-b,b).$

Neexistuje vsak zadne takove realne cislo b, aby platilo (-b,b)=(10,20). Tudiz neexistuje zadny vektor β Є V2(R), pro nez plati zadane podminky.

(b) Zobrazeni (T^-1*U) je toto
$T^{-1}\circ U:\: (a,b)\mapsto\left (\frac{b}{6},\frac{b}{2}\right ).$
Proto
${\mathrm Ker}T^{-1}\circ U=\{ (k,0)\in V_2(\mathbb{R});k\in\mathbb{R}\} .$

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2008 11:32

Lineární zobrazení (projekce)

#2 30. 06. 2008 16:15 — Editoval Marian (30. 06. 2008 16:21)

Re: Lineární zobrazení (projekce)

Zápatí