Matematické Fórum

lukaszh · 30. 06. 2008 12:50

Zdravim,
zaujimalo by ma ako sa prislo na to, ze derivacia sinu je cos, resp. cosinu -sin. alebo arctg 1/... . Da sa to nejako odvodit lebo z limity
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$ neviem vela vypocitat...
Preco potom derivacia arcsin nie je arccos?

Marian · 30. 06. 2008 14:14 — Editoval Marian (30. 06. 2008 14:40)

↑ lukaszh:

Pro odvozeni derivace funkce sinus a kosinus se pouzivaji tzv. souctove vzorce, tj. formule

$\sin (x+y)=\sin x\cdot\cos y+\cos x\cdot\sin y,\nl \cos (x+y)=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot\sin y .$

Polozis nyni y=h a mas pro derivaci funkce sinus

$(\sin x)'=\lim_{h\to 0}\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\cos x\sin h}{h}=\nl \cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=\cos x,$

coz plyne z toho, ze plati

$\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.$

Podobne se uvazuje i u odvozovani derivace funkce kosinus.

Dale k otazce, proc derivace funkce arkussinus neni funkce arkuskosinus. Jedna se o chybnou analogii. Pro odvozeni derivaci techto dvou funkci se pak vyuziva veta o derivaci inverzni funkce. Z ni neplyne, ze kazda funkce obsahujici v nazvu sinus, resp. kosinus ma derivaci "stejnou", pouze se zamenou slova sinus na kosinus, resp. kosinus na sinus.

U derivace funkce arkustangens se obdobne vyuziva veta o derivaci inverzni funkce, lze pouzit ale i formulku
$\arctan x-\arctan y=\arctan\frac{x-y}{1+xy},\quad -xy<1.$
Ta neni ale tak pohodlna jako zminovana veta o inverznich funkcich.

jelena · 30. 06. 2008 14:16

↑ Marian:

Mame se na co tesit :-) Zdravim, Mariane :-)

iNeedUrHelpXD

mohl bych se zeptat, jak se z $lim_{h\to 0}\frac{\sin x\cdot\cos h+\cos x\cdot\sin h-\sin x}{h}$ dostatnu na $lim_{h\to 0}\frac{\cos x\cdot\sin h}{h}$ \
dikz

jelena · 21. 11. 2011 00:32

↑ iNeedUrHelpXD:

Zdravím,

cos(h) pro h ->0 se blíží 1, tedy "hrubě řečeno" v čitateli limitně máme sin(x)*1-sin(x)=0 (a to co zůstalo).

Přesunula jsem téma do vzorových, děkuji ↑ Marianovi: (původně zde bylo jen "pracuji na tom" nebo něco v tom smyslu).

Matematické Fórum

#1 30. 06. 2008 12:50

sin cos arctg

#2 30. 06. 2008 14:14 — Editoval Marian (30. 06. 2008 14:40)

Re: sin cos arctg

#3 30. 06. 2008 14:16

Re: sin cos arctg

#4 20. 11. 2011 21:27 — Editoval iNeedUrHelpXD (20. 11. 2011 21:37)

Re: sin cos arctg

#5 21. 11. 2011 00:32

Re: sin cos arctg

Zápatí