Matematické Fórum

koubes · 10. 11. 2011 20:51

Zdravím,

$\lim_{x\to\infty }(x*arctg(x)-(\pi /2)*x)$

vypočítal jsem 0, ale nějak se mi to nezdá...

Díky

Pavel · 10. 11. 2011 22:01

↑ koubes:

Limitu upravme a použijme L'Hospitalovo pravidlo:

$\lim_{x\to\infty}\biggl(x\arctan x-\frac{\pi}2\,x\biggr) &=\lim_{x\to\infty}x\biggl(\arctan x-\frac{\pi}2\biggr) =\lim_{x\to\infty}\frac{\arctan x-\frac{\pi}2}{\frac 1x} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac 1{1+x^2}}{-\frac 1{x^2}} =-\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=-1.$

koubes · 10. 11. 2011 22:40 — Editoval koubes (10. 11. 2011 22:46)

Tato limita mi vznikla při počítání asymptot funkce f(x)=x*arctg(x). Výsledek této limity by měl být absolutní člen q u rovnice přímky y=kx+q. Výsledek-1 se mi proto do "krámu" moc nehodí. - $\infty$ se mi do "krámu" hodí více, ale neodvážím si tvrdit, který výsledek je spravný.

Samozřejmě děkuji za všechny výsledky.

vanok · 10. 11. 2011 22:51

↑ koubes:

Osviez si vedomosti tu

http://cs.wikipedia.org/wiki/Asymptota

koubes · 11. 11. 2011 13:38

Promiň, ale to mi moc nepomohlo. Potřeboval bych podstatně větší nakopnutí.

Rumburak

↑ koubes:

Při hledání asymptoty v $+\infty$ ke grafu funkce $f$ vlastně hledáme čísla $k, q$ tak, aby

(1) $\lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx - q$ = 0$ .

Nutno ovšem podotknout, že taková asymptota ne pro každou funkci $f$ existuje.

Platí-li (1), potom je triviálně splněno též $\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x) - kx - q}{x} = 0$ a odtud

$\lim_{x \to +\infty} $\frac {f(x)}{x} - k$ = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac {f(x)-kx -q}{x} + \frac {q}{x}\right)= 0$ ,
neboli

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac {f(x)}{x}$ ,

pomocí (1) pak sndno odvodíme

$q = \lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx$$ .

Pro funkci $f(x) = x \arctan x$ vyjde velmi triviálně $k = \frac {\pi}{2}$ a dále se substitucemi $y = \arctan x$ , $w = y - \frac{\pi}2$ :

$q = \lim_{x\to\infty}\left(x\arctan x-\frac{\pi}2\,x\right) = \lim_{y\to\frac{\pi}{2}-}\left((\tan y) y - \frac{\pi}2\,\tan y\right) =\\= \lim_{y\to\frac{\pi}{2}-}\left(y - \frac{\pi}2 \right) \,\tan y = \lim_{w\to 0-} w \,\tan \left(w + \frac{\pi}2 \right) = \lim_{w\to 0-} w \cdot \frac{\sin\left(w + \frac{\pi}2 \right) }{\cos\left(w + \frac{\pi}2 \right)} =\\= \lim_{w\to 0-} w \cdot \frac{\cos w}{-\sin w} = - \lim_{w\to 0-} \frac{w} {\sin w} \cdot \cos w = -1\cdot 1 = -1$ ,

jak již dříve ukázal jinou technikou ↑ Pavel:.