Matematické Fórum

janca361 · 16. 11. 2011 16:02

Ahoj, mám příklad:

Jak mám chápat údaj $t_b=d \ \text{cm}, d \in \mathbb{R}^{+}$ ? Mám si zvolit $t_b$ libovolné délky?
Děkuji.

((:-)) · 16. 11. 2011 16:04 — Editoval ((:-)) (16. 11. 2011 16:36)

↑ janca361:

To d je podľa mňa parameter a treba robiť diskusiu pre jeho rozličné dĺžky vzhľadom na počet riešení úlohy.

Asi je výhodné začať od AB, naniesť uhol 60° a potom premyslieť, za akej podmienky pre dĺžku ťažnice sa dá zostrojiť stred strany b - kedy stred neexistuje, kedy je presne jeden, kedy práve dva ... (pri akej dĺžke d ťažnice).

janca361 · 16. 11. 2011 16:35

↑ ((:-)):
Narýsuje se to takto:
$1.\ AB;|AB|=6 \ cm \nl 2.\ \sphericalangle BAX;|\sphericalangle BAX|=\frac{\pi}{3}=60 ^\circ \nl 3.\ k_1;k_1(B,t_b) \nl 4.\ B_1;B_1 \in \mapsto AX \cap k_1 \nl 5.\ k_2;k_2(B_1,|AB_1|); 6.\ C;C \in \mapsto AC \cap k_2 \nl 7.\ \triangle ABC$

A řešení bude zaviset na platnosti troúhelníkové nerovnosti v $\triangle ABB_1$ ?
$a=d \nl b=|AB_1|=\frac12 AC=x \nl c=|AB|=6 \ cm$

Musí platit:
$|b-c|<a<b+c \nl |x-6|<d<x+6$

Je aspoň ta úvaha dobře?

((:-)) · 16. 11. 2011 16:39 — Editoval ((:-)) (16. 11. 2011 16:40)

↑ janca361:

Myslím, že podmienky sa musia dávať pre $d$ , teda $t_b$ , ale bez $x$ , lebo $x$ nie je dané.

janca361

↑ ((:-)):
$x$ není dané, ale bude se na základě volby $d$ ( $t_b$ ) měnit, ne?
$|x-6|<d<x+6$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Jak se tedy toho $x$ zbavit?

EDIT:

Asi je výhodné začať od AB

Od AB se přímo začínat musí, je to polohová úloha.

EDIT2:
Úloha nebude mít řešení pro $d \le 6$ , to je jasné.

((:-)) · 16. 11. 2011 17:01 — Editoval ((:-)) (16. 11. 2011 17:03)

↑ janca361:

Možno pomôže ...

červená 0 riešení

belasá 1 riešenie

žltá 2 riešenia

sivá 1 riešenie

a myslím, že pomôže goniometria

janca361 · 16. 11. 2011 17:08

janca361 napsal(a):
Úloha nebude mít řešení pro $d \le 6$ , to je jasné.

Hloupost, 0 řešení bude pokud je $d < 6 \ cm$
Jak si přišla na to, že $\sphericalangle ABB_1$ je 90°? Je to $t_b$ ne $v_b$ . Nemusí nutně platit, že $t_b$ je na $b$ kolmá, ne?

((:-)) · 16. 11. 2011 17:18 — Editoval ((:-)) (16. 11. 2011 17:59)

↑ janca361:

Teoreticky sa pokojne mohlo začať od d...

Janča - dané máš AB, BAC a d, číslo d je hocijaké kladné číslo, ibaže my nepoznáme jeho hodnotu.

Žiadne riešenie bude dovtedy, kým d bude mať takú hodnotu, že prienik k(B;d) s AX nebude existovať.

Keď meníš d (zväčšuješ ho), prvýkrát bude práve 1 riešenie vtedy, keď sa kružnica so stredom B a polomerom d polpriamky AX dotkne - odtiaľ je ten pravý uhol.

Vtedy je síce d menšie ako 6, ale predsa 1 riešenie existuje.

Od okamihu dotyku po dosiahnutie dĺžky d=6 cm existujú pri zväčšovaní hodnoty d práve dva prieniky kružnice k(B;d) s polpriamkou AX.

Akonáhle d dosiahne dĺžku 6 cm, tak už je znova iba jediný (použiteľný) prienik tejto kružnice s AX.

Otázka je, aká je horná hranica pre d... aké veľké kružidlá existujú ... :-)

Hranica existencie aspoň jedného riešenia pre dĺžku d je tá dĺžka, pre ktorú nastane dotyk.

Vtedy platí, že sa dá d vyjadriť pomocou nejakej goniometrickej funkcie, pričom v zápise využiješ dané prvky d a AB.

V diskusii skonštatuješ: ak d je od ... menšie, tak je 0 riešení, ak je d = ..., tak je práve 1 riešenie.

Ak je d väčšie ako ..., ale menšie ako ..., tak sú práve 2 riešenia.

Ak je d 6 cm alebo viac, tak je práve 1 riešenie .......

єто всё

... ale s. r. o. :-)

janca361 · 16. 11. 2011 17:43

↑ ((:-)):
Neuvědomila jsem si, že nehledám průnik kružnice s AB, ale s $\mapsto AX$ , která se přibližuje.

K dotyku dojde:
$\sin 60^\circ =\frac{d}{6} \nl d=6 \cdot \sin 60^\circ$

Pokud bude $d<6 \cdot \sin 60^\circ$ k průniku nedojde a nebude existovat žádné řešení.
Pokud $d>6 \cdot \sin 60^\circ$ dojde k průniku ve dvou bodech a budou existovat 2 řešení.

Ak je d väčšie ako ..., ale menšie ako ..., tak sú práve 2 riešenia.

Proč menší jako? Je tam nějaké omezení než velikost papíru a kružítka?

((:-)) · 16. 11. 2011 17:47 — Editoval ((:-)) (16. 11. 2011 17:49)

↑ janca361:

Papíru a kružítka nie :-), ale ďalšia hranica je tých 6 cm, keď už znova bude iba 1 použiteľný prienik.

Vidno to na tom obrázku, ktorý je vyššie...

Neviem, či je to 100% dobre, či som tam niečo nezmršila, ale +- by to mohlo sedieť ...

janca361 · 16. 11. 2011 18:11

↑ ((:-)):
Tak teď už to snad budu mít dobře.
$6 \cdot \sin 60^\circ=3\sqrt{3}$

$d<3\sqrt{3} \ cm$ - 0 řešení
$d=3\sqrt{3} \ cm$ - 1 řešené
$3\sqrt{3} \ cm <d<6 \ cm$ - 2 řešení
$d<6 \ cm$ - 1 řešení