Matematické Fórum

mathdotazy · 23. 11. 2011 09:38

Dobrý den,

měl bych dotaz, setkal jsem se s jednou rovnicí a není mi v ní jasný jeden člen. V literatuře je značen jako

$\delta(f)$ Diracova delta funkce nebo jako $\delta _{ij}$ Kronekrova delta funkce.

rovnice :

$\frac{\partial ^2}{\partial \tau ^2 } \bar{\varrho } H(f) - c^{2} \frac{\partial ^2}{\partial y_{i}^2 } \bar{\varrho }H(f) = \frac{\partial }{\partial \tau }[\varrho _{0}v_{i}\eta _{i}|\nabla f|\delta (f)] - \frac{\partial }{\partial y_{i} }[p _{ij}\eta _{j}|\nabla f|\delta (f)]$

platí, že pro f < 0 uvnitř tělesa, f = 0 na povrchu, f > 0 mimo těleso.

f ... plocha tělesa
$\varrho$ ... hustota
v ... rychlost
$\eta$ ... normála
p ... tlak

Rovnice se potom převádí do integrální formy užitím Greenovy věty $G(\bar{x},t/\bar{y\tau })$ , kde x a y jsou souřadnice (pozice) bodu a $\tau$ je čas.

Rumburak

↑ mathdotazy:

Obsahu té diferenciální rovnice nerozumím, avšak funguje-li v ní "Diracova funkce", správněji bychom měli říci "Diracova distribuce",
pak z toho plyne, že jde o rovnici ne v klasickém smyslu, ale ve smyslu distribucí.

Co jsou to distribuce ? Jde o jakousi abstraktní nadstavbu nad třídou obvyklých reálných resp. komplexních funkcí definovaných v $\mathbb{R}^n$ .

Nechť $\Omega$ je otevřená množina v $\mathbb{R}^n$ , $D(\Omega)$ nechť je systém všech funkcí $f$ s následujícími vlastnostmi:

- definičním oborem funkce $f$ je $\Omega$ ,
- množina $\mathrm{supp}(f) := \{ x \in \Omega : f(x) \ne 0 \}$ (tzv. nosič funkce $f$ ) je kompaktní ,
- funkce $f$ je třídy $C^{\infty}$ v $\Omega$ , tj. má tam spojité všechny parciální derivace všech řádů .

Snadno nahlédneme, že

- s každou funkcí $f \in D(\Omega)$ jsou v $D(\Omega)$ i všechny její parciální derivace libovolného řádu,

- $D(\Omega)$ je lineární prostor nad tělesem $T$ reálných resp. komplexních čísel, tedy existuje i systém lineárních forem na tomto prostoru
(lineární formou je lineární zobrazení vektorového prostoru do svého tělesa).

V prostoru $D(\Omega)$ se poněkud složitějším avšak přirozeým způsobem zavádí topologie, takže u lineárních forem na tomto prostoru má smysl
zabývat se otázkou jejich spojitosti. Systém všech spojitých lineárních forem na prostoru $D(\Omega)$ se často značí $D'(\Omega)$ , zřejmě jde
o lineární prostor, jehož prvky pak nazveme distribucemi v $\Omega$ . Jednou z nich je i Diracova distribuce $\delta_c$ , která funkci $f\in D(\Omega)$
přiřadí její hodnotu v bodě $c\in \Omega$ .

***

Uvažujme speciální případ $n = 1$ , $\Omega = (-\infty, +\infty)$ a vezměmě $h \in L_2(-\infty, +\infty)$ . Potom lze ukázat, že předpisem

(1) $\psi_h (f) = \int_{-\infty}^{+\infty} h f , f \in D(-\infty, +\infty)$

je definována spojitá lineární forma na prostoru $D(-\infty, +\infty)$ , takže zobrezení $h |\!\!\!\longrightarrow \psi_h$ lze pokládat za vnoření $L_2(-\infty, +\infty)$
do $D'(-\infty, +\infty)$ . Analogicky $L_2(\Omega)$ je vnořeno do $D'(\Omega)$ .

Je-li $\psi \in D'(-\infty, +\infty)$ , definujeme její derivaci $\psi'$ tak, aby "platil vzorec pro integraci per partes přes $(-\infty, +\infty)$ " :

(2) $\psi'(f) := - \psi(f') , f \in D(-\infty, +\infty)$ .

(V případě hladké funkce $h \in L_2(-\infty, +\infty)$ , $\psi = \psi_h$ , $f \in D(-\infty, +\infty)$ je

$\int_{-\infty}^{+\infty} (h' f + hf') =\int_{-\infty}^{+\infty} (hf)' = [hf]_{-\infty}^{+\infty} = 0$ ,

neboli $\int_{-\infty}^{+\infty} h' f = - \int_{-\infty}^{+\infty} hf'$ , což prostřednictvím (1) vede k definici (2).)

EDIT 1. Takže libovolnou $h \in L_2(-\infty, +\infty)$ můžeme zderivovat ve smyslu distribucí tak, že místo ní zderivujeme $\psi_h$ podle (2) .
Odtud je už jen krok k diferenciálním rovnicím ve smyslu distribucí.

Podrobnější informace hledej na webu pod heslem "Teorie distribucí" - je toho tam, zdá se, celkem dost.

EDIT 2. Ještě doplním, že v analogii k (1) se vžilo používání zápisu

(3) $\psi (f) = \int_{\Omega} \psi f , f \in D(\Omega)$

i tehdy, když $\psi$ už NENÍ v klasickém smyslu funkcí s definičním oborem v $\Omega$ , takže (3) pak je jakýsi "integrál ve smyslu distribuci" , speciálně

(4) $f(c) = \delta_c (f) = \int_{\Omega} \delta_c f , f \in D(\Omega)$ ,

což bývá populárně interpretováno způsobem, který uvádí v následujícím příspěvku LukasM . V tomto případě zápis (3) a tedy i (4) je ve skutečmosti
pouze jakousi licencí, která s klasickým integrálem souvisí jen vzdáleně.

EDIT 3. Předpoklad $h \in L_2(-\infty, +\infty)$ zde s úspěchem můžeme nahradit i jinými předpokldady, např.

$h \in L(-\infty, +\infty)$ ,

$h$ je spojitá .

LukasM · 23. 11. 2011 12:14 — Editoval LukasM (23. 11. 2011 12:29)

↑ mathdotazy:
Já se přiznám, že mi není jasný ani žádný jiný člen, protože té notaci vůbec nerozumím, neznám ji. Vysvětlil by mi někdo co znamená zápis $\frac{\partial }{\partial \tau }[\varrho _{0}v_{i}\eta _{i}|\nabla f|\delta (f)]$ ? Co se to tam vlastně derivuje?

Co to je za rovnici? Co znamená H a c?

Pokud jde o tu deltu. Kroneckerovo delta $\delta _{ij}$ (ten pojem "funkce" jsem tady použitý nikdy neviděl, vždy to bylo jen "Kroneckerovo delta") je diskrétní symbol, definovaný jako 1 pro i=j a nula pro $i\neq j$ . V teoretické fyzice se hojně využívá, aby rovnice vypadaly trochu slušně.

S Diracovou delta funkcí je potíž, konkrétně ta, že fyzici ji definují dost ledabyle. Zpravidla se dozvíš, že je to funkce, která má ve všech bodech kromě nuly hodnotu nula, a v nule hodnotu +nekonečno, přičemž $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x) \mathrm{d}x=1$ . Z matematického hlediska je to obojí nesmysl, takže je problém se v tom pak vyznat. Správná matematická definice definuje Diracovu delta funkci jako tzv. zobecněnou funkci (funkcionál na prostoru testovacích funkcí), a vyžaduje to nějaké úsilí (Edit: jak ukazuje nade mnou ↑ Rumburak:). Ve fyzice je ovšem delta funkce často užívána trochu vágněji.

Zhruba tak je to obecně, podrobnější vysvětlení nebo opravu možná nabídne někdo jiný, minimálně Pavel Brožek toho bude vědět víc než já (bude-li se mu sem ovšem chtít psát).

Symbol by měl v "literatuře" být ovšem vysvětlen, není-li jeho význam z kontextu zřejmý. Proto se také ptám, jaký je význam té rovnice a jak je tam ten symbol vůbec použit. Je to evidentně jakási vlnová rovnice, a delta bude vlnění omezovat na nějakou část prostoru. (Edit: spíš teda bude omezovat zdroj toho vlnění na nějakou oblast, možná na povrch toho tělesa. Ale dokud nebudu rozumět té notaci, tak to je jen odhad.)

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2011 09:38

Diracova delta funkce (Kronekrova delta funkce)

#2 23. 11. 2011 12:03 — Editoval Rumburak (10. 01. 2012 09:51)

Re: Diracova delta funkce (Kronekrova delta funkce)

#3 23. 11. 2011 12:14 — Editoval LukasM (23. 11. 2011 12:29)

Re: Diracova delta funkce (Kronekrova delta funkce)

Zápatí