Matematické Fórum

↑ Lena:
\frac{1}{3} (cosx+x)^{\frac{-2}{3}}(-sinx+1)

Jaka iteracni metoda? Newtonova? Banachova veta o pevnem bodu?

Jestli ta druha tak definuji
f(x):=(x+cos(x))^(1/3)

a vypocitam f(1.1), to co dostanu tak zase dosadim do funkce f, atd atd .....


Takto to vypada v Maxime:
[marik@carya ~]http://maxima.sourceforge.net Using Lisp SBCL 1.0.7 Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) f(x):=(x+cos(x))^(1/3)$" class="tex" onclick="zkopirujTex(this.alt, 'm')" title="kopírovat do textarea">

(%i2) f(1.1);
(%o2)                          1.158188840648284
(%i3) f(%);
(%o3)                          1.159576785440382
(%i4) f(%);
(%o4)                          1.159605564343241
(%i5) f(%);
(%o5)                          1.159606159033832
(%i6) f(%);
(%o6)                          1.159606171321716
(%i7) f(%);
(%o7)                          1.159606171575616
(%i8) f(%);
(%o8)                          1.159606171580862
(%i9) f(%);
(%o9)                          1.159606171580971
(%i10) f(%);
(%o10)                         1.159606171580973
(%i11) f(%);
(%o11)                         1.159606171580973
(%i12) f(%);
(%o12)                         1.159606171580973


Editace: Tak jsem rad ze jsem se shodl s Jelenou, ktera je opet rychlejsi :)

---------------------------------------------------------------
Také tam seděl s maminkou asi tak veliký hošík jako Kája a tolik naříkal! Maminka pořád říkala: „Bolí tě zoubečky, chudinko, viď, bolí. Bojíš se, viď?“ A hošík plakal ještě víc. Kája se k němu postavil: „Chudinka nejsi, když jsi kluk. To jenom holky jsou chudinky. Bolí tě zoubek? Tak pan doktor vezme stříbrné kleštičky, zaškrtí bolesti krček a budeš mít pokoj.“
A hošík přestal plakat.

↑ jelena:
Taky zdravim Jeleno, velice se omlouvam ale nezda se mi to urcovani chyby.

Ve vetsine pripadu ten odhad chyby pomoci vzdalenosti dvou postupnych sproximaci (jak pisete) asi staci, ale jestli chceme byt uplne presni, tak existuje vzorec ktery rika, jak souvisi vzdalenost mezi dveme postupnymi aproximacemi se vzdalenosti od toho pevneho bodu, ktery hledame.

Tusim ze se to odvozovalo z nejakeho odhadu pouziteho v dukaze Banachovy vety a z trojuhelnikove nerovnosti. A figuruje tam i ta konstanta Lipschizovskosti, kterou asi tazatelka zjistovala z te derivace. Mozna ten vzorec je v tech skriptech podle kterych studuje. Ve skriptech prof. Dosle na netu to neni, vim ze to je treba ve Smartove knize o pevnych bodech, ale tu asi k dispozici mit nebude.

Edit: tak mi to nedalo a zagooglil jsem , je to hned prvni odkaz na frazi "banach fixed point theorem error estimate". Theorem B, vzorce (3) a (4), jeden nam umozni odhadnout kolik kroku je potrebna udelat po prvni iteraci a druhy dava do souvislosti vzdalenost sousednich aproximaci se vzdalenosti od skutecneho reseni.

A jeste treba nekoho zaujme tohle (ja to slysim prvne, je to jeden z dalsich odkazu v googlu): I would just like to remark that (at least in Italy) this is known as the Banach-Caccioppoli fixed point theorem.

-------------------------------------------------
Kája obléká nedělní kalhotky. Jsou mu už tuze krátké. „Tyhle už, maminko, budete muset schovat, až zas budu malý.“

Díky vám oběma. Přidala jsem nahoru naskenované stránky ze skript. Pokud mi k tomu ještě cokoli poradíte, budu vám vděčná. O víkendu se podívám na postup od Jeleny. Bohužel, postup od kaji.marika je nad mé současné schopnosti a znalosti. Studuji povrchové dobývání a předmět "Numerické metody a statistika" je v našem studiu doslova do počtu. Proto jsou mé znalosti z této části matematiky spíše NEznalostmi. Chybí mi i pevný základ z matematiky,  ale to jsem snad ani neměla říkat nahlas...stydím se ;-) .

↑ jelena:

Tisíceré díky Jeleno,

poštovní holub doručil tvé materiály v pořádku, program už je opravený a odeslaný...konečně. Tvůj postup byl opravdu polopatický a pochopitelný i pro matematické zelenáče :-) . Ještě jednou díky. Je super, že existuje místo, kde človíčku ztracenému v matematickém světě nezištně pomůže partička Einsteinů. Možná založím podobné fórum pro nás, těžaře. Abychom i my měli místo, kde se budeme moci bavit o nových trendech na poli vrtacích souprav, pásových dopravníků, trhavin a podobně. :-D

↑ jelena:
mam pripominky k tomu odkazu na skripta pani Mosove -  http://www.matematika.educato.cz/vyuka/ … metody.pdf .
Podle mne veta 4.1, kterou tady pouzivame, neplati v tom tvaru, jak to tam je uvedeno. Chybi tam predpoklad ze funkce phi zobrazuje interval [a,b] do sebe.

↑ jelena:
Napriklad funkce y=4 na intervalu <0,1> podle mne splnuje vsechny podminky te vety ze skript pani Mosove, ale presto rovnice x=4 nema na intervalu <0,1> reseni.
Tohle je takovy trivialni pripad, ale jestli se mame doiterovat k pevnemu bodu, tak
1. musime mit kam se doiterovat
2. funkce musi byt kontrakce (v praxi vetsinou overujeme silnejsi podminku na derivaci)

No a v tech skriptech prave ta prvni podminka neni osetrena, protoze mam podminku jenom na derivaci a tuto podminku splnuje i kazda funkce, ktera se posune nehoru nebo dolu. Podminka s derivaci zustane v patnosti, ale pevny bod muze uplne zmizet.

Koukal jsem na ty materialy od puvodni tazatelky, a tam ta podminka ze se interval zobrazuje sam do sebe je uvedena hned na zacatku vety 2.9. Jenomze ta podminka se nekdy muze dost spatne overovat, tak jsem se schvalne koukal i dal, a videl jsem ze v priklade 2.11 tuto podminku ani neoverovali. Podle me by na jednoduchy dukaz, ze je pouziti metody korektni, stacilo overit ze

1.   f(a)>a   a    f(b)<b
2.   derivace je v absolutni hodnote odrazena od jednicky (to je ta podminka na supremum derivace, kterou maji i na VSB i Mosova)

druha podminka zajisti, ze funkce je kontrakce a obe podminky dohromady zajisti, ze funkce zobrazuje interval <a,b> do sebe.  Takze vlastne pribyva jenom overeni dvou nerovnosti, ktere jde asi navic casto videt z obrazku.

Ty skripta z VSB se mi take zdaji v poradku. Jenom se mi nelibi ze tam jsou same ikonky a kontrolni otazky, ale chapu ze to tak je moderni a Evropskych strukturalnim fondum se to tak libi :)
V dukaze vety 2.4.1 tam vlastne pouzivaji ty nerovnosti f(a)>a   a    f(b)<b  (v jinem oznaceni).