Matematické Fórum

5.11. Příklad. Najdeme množinu všech rešení homogenní soustavy lineárních rovnic se šesti neznámými:
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + 3x5 + 3x6 = 0
x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + x6 = 0
2x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 + 2x5 + 8x6 = 0
Eliminujeme matici soustavy (vektor pravých stran je nulový, takže je zbytecné jej psát).

1 1 2 3 3 3
1 1 1 3 1 1
2 2 2 6 2 8
      ~
1 1 2 3 3 3
0 0 −1 0 −2 −2
0 0 −2 0 −4 2
      ~
1 1 2 3 3 3
0 0 1 0 2 2
0 0 0 0 0 6


Z poslední rovnice budeme pocítat x6, z predposlední rovnice x3 a z první rovnice x1. Hodnoty neznámých
x2, x4, x5 mohou být libovolné. Zavedme pro ne parametry x2 = t, x4 = u, x5 = v. Z poslední rovnice
vychází jedine x6 = 0, z predposlední rovnice máme x3 = −2v a konecne z první rovnice dostáváme
x1 = −t + 4v − 3u − 3v = −t + v − 3u. Výsledek sumarizujeme takto:
(x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (−t + v − 3u, t, −2v, u, v, 0) =
= t (−1, 1, 0, 0, 0, 0) + u (−3, 0, 0, 1, 0, 0) + v (1, 0,−2, 0, 1, 0).
Z tohoto zápisu vyplývá, že množina všech rešení dané homogenní soustavy je množinou všech lineárních
kombinací uvedených trí vektoru, což mužeme zapsat pomocí lineárního obalu takto:
M0 =<(−1, 1, 0, 0, 0, 0), (−3, 0, 0, 1, 0, 0), (1, 0,−2, 0, 1, 0)>


Tenhleten postup se u tohohle nepoužívá? :) Já jsem na algebru asi fakt natvrdlej, pomíchali se mi asi dvě různé problematiky dosebe :)

Shrnu svůj postup, jestli jsem to pochopil správně.
Mám soustavu rovnic (jedno jestli homogenní nebo nehomogenní).
Sestavím matici, pak provedu úpravu na horní trojůhelníkový tvar pomocí GEM.
Dostanu matici A, zjistiím její hodnost. Zjistím hodnost rozšířené matice (pravé strany). Pokud jsou tyto hodnosti stejné existuje řešení. Pokud počet proměnných  je stejný jako hodnost matice A extistuje pouze jedno řešení. -> Najdu jedno partikulární řešení nehomogenní (rovnice jsou rovny nějakým číslům (ne nule) soustavy a jedno obecné homogenní soustavy.
Pokud by byl počet neznámých větší než hodnost matice tak má soustava nekonečně mnoho řešení ->  (počet neznámých - hodnost matice) = počet proměnných které budou libovolné ? A zbylé proměnné musím dopočítat?



Ale zmátlo mě to viz výše :) Je to ze skript ze sekce věnované Lin. soustavám. Nevím tedy kde to použít :)

Sakra teď to tam taky nevidím :D
Někde jsem to viděl a zmátlo mě to ale nemohu najít kde :)
Myslím že to bylo u těch parametrů. Tam se nějak násobil parametr těmi vektory a vlastně v tom vektoru ta jednička se posouvala zleva doprava a bylo tam tolik ,,sloupců" (pozic) kolik bylo neznámých :)

Tak snad to tedy chápu :)

Pokud bych měl rovnici ve které bude parametr tak se to řeší úplně stejně?

Mohu mít ještě jeden dotaz, pro jaké případy se řeší soustava lin. rovnic přes determinanty? Nějaké takové příklady v sešitě mám kde se řeší soustava pomocí determinantů, které spočítáme pomocí metody algebraických doplňků. Ale není mi to moc jasné.  :)

Tohleto jsem myslel :) Jen to neumím popsat (já nechci k ústní zkoušece :D )

Ale nutně nemusím použít Kramerovo pravidlo a inverzní matici ne? :)  Dá se to vyřešit pomocí toho jak jsem to počítal výše?

Cramerovo pravidlo a inverzní matici snad zvládnu, ale přece jen to nahoře je jednodušší :)

Tak mockrát děkuju za ochotu a rady :) 
Na Algebře závísí moje setrvání na vysoké škole, tak se snažím to co nejvíce pochopit
Ještě jednou mockrát děkuju a třeba se tady ještě někdy potkáme :)