Matematické Fórum

Saturday · 21. 10. 2007 21:51

$k, n \in N; k,n >= 1$ je číslo $(k!)^2$ dělitelem čísla $(kn)!$ ? Proveďte důkaz.

Nevím si s tím rady, předem děkuji za odpověď

Kondr · 21. 10. 2007 22:10

Pro n=1 to očividně neplatí.

Jinak jsou dva způsoby jak to dokázat. Jeden je hrát si s mocninami prvočísel, které dělí každý z výrazů a dojít k tomu, že první z výrazů je vždy dělitelný pouze menší mocninou daného prvočísla.

Hezčí způsob je tento: řekněme, že máme n druhů zákusků, od každého k kusů; zákusky od jednoho druhu jsou nerozlišitelné. Počet způsobů, jak postavit zákusky do řady je
$\frac{(kn)!}{k!^n}$ .
Proč tomu tak je budiž čtenáři ponecháno za domácí cvičení.
No a protože počet způsobů, jak něco postavit do řady je celé číslo, dokázali jsme tímto, že
$k!^n|(kn)!$ , což je pro n=2 přesně to, co jsme chtěli a pro n>2 je to ještě silnější tvrzení.

Saturday · 21. 10. 2007 23:02

Hezčí způsob je tento: řekněme, že máme n druhů zákusků, od každého k kusů; zákusky od jednoho druhu jsou nerozlišitelné. Počet způsobů, jak postavit zákusky do řady je
$\frac{(kn)!}{k!^n}$ .
Proč tomu tak je budiž čtenáři ponecháno za domácí cvičení.
No a protože počet způsobů, jak něco postavit do řady je celé číslo, dokázali jsme tímto, že
$k!^n|(kn)!$ , což je pro n=2 přesně to, co jsme chtěli a pro n>2 je to ještě silnější tvrzení.

Chápu to tak, že $(kn)!$ je počet permutací všech zákusků, dělíme to počtem permutací jednotlivých druhů zákusků $k!^2$ proto, že jsou nerozlišitelné.

Výraz $\frac{(kn)!}{k!^n}$ bych pro svůj příklad lehce přepsal:

$\frac{(kn)!}{k!^m}$ , kde platí $1<=m<=n, n>=2$ což musí platit proto, že 1) můžeme vyloučit permutace některých druhů zákusků (zákusky by byly rozlišitelné) nebo 2) proto, že z dělitelnosti: $\k!^n|(kn)!$ vyplývá, že výraz (kn)! bude dělitelný i nižšími mocninami k!

Ještě jednou děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 21. 10. 2007 21:51

Dělitelnost faktoriálů

#2 21. 10. 2007 22:10

Re: Dělitelnost faktoriálů

#3 21. 10. 2007 23:02

Re: Dělitelnost faktoriálů

Zápatí