Matematické Fórum

Andrejka3

Ahoj.
Zadání: Rozhodni, zda svaz $(\mathbb(N),|)$ je modulární / distributivní.

Pojmy a značení

No, a já bych ráda využila ty dvě poslední věty. Výsledek ve skriptech se liší s mou představou :)

Předpokládám existenci podsvazu izomorfního $\textbf{N}_5$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Potřebuju vědět, co si o tom myslíte, jestli dělám chybu... Nějak mě navést, poradit.
Díky.

Edit: Výsledek ve skriptech je, že svaz není distributivní, ani modulární. Může to být ale jen nějaký přepis. (skripta jsou docela nová a v pokusné fázi)

Olin · 08. 12. 2011 13:55 — Editoval Olin (08. 12. 2011 13:56)

Podle Wikipedie je distributivní a já si to myslím také, jelikož je isomorfní direktnímu součtu řetězců (kteréžto distributivní samozřejmě jsou) (isomorfismem je právě to přiřazení posloupnosti exponentů prvočísel).

Andrejka3

↑ Olin:
Děkuju.
Edit: To s tím direktním součtem zkusím využít.

Andrejka3 · 09. 12. 2011 13:26

Kdyby se to někomu někdy hodilo, zkusila jsem formulovat myšlenku kolegy Olina tak, abych nepoužila direktní součin nekonečně mnoha algeber, který mi dělá problémy. Nezaručuji, že to je správně, ale může to být užitečné.
Zvolme libovolně trojici přirozených čísel $a,b,c$ . Chceme zjistit, zda platí
$a \wedge (b \vee c) = (a \wedge b) \vee (a \wedge c)$ .
Označme písmenem $P$ množinu všech prvočísel, které mají nenulovou mocninu v rozkladu nějakého z čísel $a,b,c$ . Uspořádejme ji třeba podle velikosti jejích prvků. Můžeme psát $P = \{p_1, \dots , p_k \}$ .
Definujme zobrazení $\varphi : \langle a,b,c \rangle \rightarrow \left( \mathbb{N} \cup \{0\} \right)^k$ tak, že
$\varphi \left( \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{l_i}\right)=(l_1 , \dots , l_k) = (l_i)_{i=1}^k \; .$
Na množině $\mathbb{N} \cup \{0\} = \mathbb{N}_0$ definuji operace $\wedge, \vee$ :
$m \wedge n = \mathrm{min}\{m,n\} \; m \vee n = \mathrm{max}\{m,n\} \; .$
Chápu-li ${\mathbb{N}_0}^k$ jako direktní součin algeber $\mathbb{N}_0$ definovaných výše a označím-li $\Phi : \langle a,b,c \rangle \rightarrow \mathrm{Im}(\varphi)$ , pak $\Phi$ je izomorfismus $\langle a,b,c \rangle, \mathrm{Im}(\varphi)$ , neboť zřejmě je zobrazení $\varphi$ prosté a je též homomorfismem:
$\varphi(x \wedge y)= \varphi \left(\mathrm{D}(x,y) \right) = (\mathrm{min}\{\varphi(x)_i,\varphi(y)_i\})_{i=1}^k = \varphi(x) \wedge \varphi(y)\;,$
kde $\mathrm{D}$ značí největšího společného dělitele. Analogicky pro operaci $\vee$ . Omlouvám se za nerozlišené symboly pro operace v různých algebrách.
Protože ale v každé komponentě direktního součinu platí distributivní zákon (lineární uspořádání), platí rovněž v direktním součinu samotném a tedy i v $\mathrm{Im}(\varphi)$ . Díky izomorfismu $\Phi$ tedy platí pro naše libovolně volená $a,b,c$ a tedy pro každou trojici z $\mathbb{N}$ . Je proto algebra $(\mathbb{N},|)$ distributivní.