Matematické Fórum

Benny · 12. 12. 2011 22:25

Všechna řešení rovnice:

$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$

Nevíte jak začít ?

vanok · 12. 12. 2011 22:41 — Editoval vanok (12. 12. 2011 22:42)

Ahoj ↑ Benny:,
Vyries najprv charaktericku rovnicu homogenej rovnice a vdaka tomu najdi jej jej vseobecne riesenie.
Potom najdi jedno partikuliarne riesenie celej rovnice, co ti umozni dat jej vseobecne riesenie?

vanok · 13. 12. 2011 10:12 — Editoval vanok (16. 12. 2011 12:24)

↑ Benny:

Vidim ze sa to nepohlo.

Tak druha seria navodov.

Charaktericka rovnica sa pise:
$X^3-3X^2-3X+1=0$
a $-1$ je jeden z jej korenov.

Mozme hladat partikuliarne riesenie kompletnej rovnice vo forme $y_n=C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2$

vanok · 16. 12. 2011 13:05 — Editoval vanok (16. 12. 2011 16:42)

Vidim ze nikto neodpoveda.
Tak tu dam cele riesenie rovnice
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$ .

Prva etapa:
Riesenie homogennej rovnice:
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=0$ : $X^3-3X^2-3X+1$
Jej charaktericka rovnica je:
$X^3-3X^2-3X+1=0$
ktora je ekvivalentna z:
$(X+1)(X^2-4X+1)=0$
co nam da lahko jej korene
$X_1=-1$
$X_2=2-\sqrt 3$
$X_3=2+\sqrt 3$
Tak jej vseobecne riesenie sa pise
$Y_n=K_1(-1)^n+K_2(2-\sqrt3)^n+K_3(2+\sqrt3)^n$
kde $K_1, K_2 , K_3$ su lubovolne konstanty.

Druha etapa:
Partikularne riesenie nehomogennej rovnice:
$a_{n+3}-3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_{n}=n^{2}+2^{n}$
sa da napisat v forme
$y_n=C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2$
Dosadenim dostaneme:
$C_1*2^{n+3} +C_2 +C_3*{(n+3)}+C_4*{(n+3)}^2$
$-3(C_1*2^{n+2} +C_2 +C_3*{(n+2)} +C_4*{(n+2)}^2)$
$-3(C_1*2^{n+1} +C_2 +C_3*{(n+1)} +C_4*{(n+1)}^2)$
$+C_1*2^n +C_2 +C_3*n +C_4*n^2=$
$n^{2}+2^{n}$ .

Z toho dostaneme:
$C_1=-\frac19$
$-4C_2+C_3(-4n-6) +C_4(-4n^2-12n-6)=n^2$
Z poslednej rovnice mame
$-4C_2-6C_3-6C_4=0$
$-4C_3-12C_4=0$
$-4C_4=1$
A konecne
$C_4=-\frac 14$
$C_3=\frac 34$
$C_2=-\frac34$

Tak mame toto partikuliarne riesenie danej rovnice:
$y_n=-\frac19*2^n -\frac34 +\frac 34*n -\frac 14*n^2$

Tretia etapa:

Konecne mozme vyjadrit vseobecne riesenie danej rovnice:

$Y_G=Y _n+y_n=K_1(-1)^n+K_2(2-\sqrt3)^n+K_3(2+\sqrt3)^n$
$-\frac19*2^n -\frac34 +\frac 34*n -\frac 14*n^2$
kde $K_1, K_2 , K_3$ su lubovolne konstanty.