Matematické Fórum

mmm · 03. 09. 2008 18:02

Jaká je velikost úhlu, který svírá stěnová a tělesová úhlopříčka krychlí ? děkuji za opověd prosím i s postupem

Marian · 03. 09. 2008 18:25 — Editoval Marian (03. 09. 2008 18:35)

↑ mmm:

Označme krychli ABCDEFGH (podívej se do tabulek, jak se krychle značí ve smyslu, kde je které písmenko jejího označení). Stačí uvážit jednotkovou krychli, tedy a=1. Beru-li stěnovou úhlopříčku úsečku BG a tělesovou úhlopříčku BH, máme z Pythagorovy věty pro délky těchto úseček
$|BG|=\sqrt{2},\qquad |BH|=\sqrt{3}.$
Uvážiš-li trojúhelník BGH, strana GH tohoto trojúhelníku je hranou krychle ABCDEFGH a tudíž má délku rovnu 1, proto |GH|=1. Známe-li v trojúhelníku délky všech stran, jsme schopni dopočítat velikosti vnitřních úhlů takového trojúhelníku (např. z kosinové věty). To už zkus sám.

Jiný postup je třeba ten, že uvážíš vektory $\vec{BG}$ a $\vec{BH}$ , přičemž pro jednoduchost krychli umístíme do trojrozměrného souřadnicového systému tak, že bude B=[0,0,0], A=[-1,0,0], H=[1,1,1] a třeba ještě G=[0,1,1]. Odchylkou uvažovaných úhlopříček je tedy odchylka vektorů BG=G-B=(0,1,1) a BH=H-B=(1,1,1). Stačí tedy najít v tabulkách vzorec pro výpočet odchylky takovýchto dvou jednoduchých vektorů

Cheop · 04. 09. 2008 12:00 — Editoval Cheop (04. 09. 2008 13:23)

↑ mmm:
Dle obrázku

$u_p=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt 2\nlu_t=\sqrt{\left({\sqrt 2}\right)^2+1^2}=\sqrt 3$
$\sin\,\alpha=\frac{1}{u_t}=\frac{1}{\sqrt 3}\nl\sin\,\alpha\approx\,0,57735$

$\arcsin\,0,57735\approx 35^\circ\,16^'$
$\alpha\,\approx 35^\circ\,16^'$

PS : Je třeba si představit, že obrázek je jednotková krychle. Já to nakreslil jako hranol, aby se mně do toho lépe psalo.

Výpočet úhlu $\alpha$ přes kosinovou větu, jak navrhoval Marian :
Obecná kosinova věta je:
$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos\,\alpha\nlb^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos\,\beta\nlc^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos\,\gamma$
v našem případě:
$1=u_t^2+u_p^2-2u_t\cdot u_p\cdot \cos\,\alpha\nl\cos\,\alpha=\frac{u_t^2+u_p^2-1}{2u_t\cdot u_p$

$\cos\,\alpha=\frac{\left(\sqrt 3^\right)^2+\left(\sqrt 2^\right)^2-1}{2\cdot\sqrt 3\cdot\sqrt2}=\frac{4}{2\cdot\sqrt 6}$
$\cos\,\alpha=\frac{\sqrt 6}{3}\nl\cos\,\alpha\approx\,0,816497$

$\arccos\,0,816497\approx 35^\circ\,16^'$
$\alpha\,\approx 35^\circ\,16^'$

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2008 18:02

Jaká je velikost úhlu, který svírá stěnová a tělesová úhlopříčka...

#2 03. 09. 2008 18:25 — Editoval Marian (03. 09. 2008 18:35)

Re: Jaká je velikost úhlu, který svírá stěnová a tělesová úhlopříčka...

#3 04. 09. 2008 12:00 — Editoval Cheop (04. 09. 2008 13:23)

Re: Jaká je velikost úhlu, který svírá stěnová a tělesová úhlopříčka...

Zápatí