Matematické Fórum

poly-filip · 02. 01. 2012 14:34

Dobrý den
chtěl jsem se zeptat jak se integrují příklady $cos^a(x) , sin^a(x)$ když a >2 předem moc děkuji.
u $a=2$ se používají vzorce $sin^2(x)=\frac{1-cos2x}{2} , cos^2(x)=\frac{1+cos2x}{2}$ poté se integrál 'roztrhne 'a integruje se samostatně 1část se zintegruje jako $\frac{1}{2}x$ a u druhé se použije substituce $2x=t$
(u $cos^3(x)$ mě napadá rozložit na $cosx*cos^2(x)$ a poté ještě rozklad toho cos na druhou na $1-sin^2(x)$ (což si myslím že je jen použití goniometrické 1) a poté per-partes ale nevím zda má úvaha je správná (nepovedlo se mi dopočítat ) )

Prosím o radu a zkontrolování.

Rumburak

↑ poly-filip:
Ahoj.

Na integrál $\int (1-\sin^2x) \cos x\,\mathrm{d}x$ bude fungovat substituce $y = \sin x$ .

K integracím funkcí tvaru $R(\cos x, \sin x)$ , kde R je racionální funkce dvou proměnných, se též používají substituce

$y = \tan x$ , $y = \cot x$ , $y = \tan \frac{x}{2}$ , $y = \cot \frac{x}{2}$ ,

ty poslední dvě by údajně měly fungovat ve všech případech. Substituce je platná v souladu s příslušnou větou o substituci,
tj. nutno správně volit intarvaly, které proměnná x bude probíhat.

poly-filip

děkuji použil jsem tvojí substituci a vyšlo mi :
$\int_{}^{}cos^{3}x=\int_{}^{}cosx*(1-sin^{2}x)=\int_{}^{}cost*(1-t^{2})*\frac{dt}{cost}=\int_{}^{}(1-t^{2})*dt=t-\frac{t^{3}}{3}+c=sinx-\frac{sin^{3}x}{3}+c$

tak doufám že to je dobře.(*)

a u $\int_{}^{}sin^{3}x$ rozložím na : $\int_{}^{}sin*(1-cos^{2}x)$ a obdobně použiji substituci $y=cosx$

(*) Upravena integrace a navrácení substituce po připomínce od xfastx + formální úprava podle upomínek Rumburak . děkuji

xfastx · 02. 01. 2012 16:13

Určitě to dobře neni
$\int_{}^{}(1-t^{2}) dt= t-\frac{t^{3}}{3}=sin x-\frac{sin^{3}x}{3}+c$
Ale je to stejně asi špatně, když se koukneš do WA (http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … 8cosx%29^3) tak je tam použitej vzorec pro výpočet integrálu n-té mocniny cosinu

poly-filip · 02. 01. 2012 16:37

Vím že to v WA vychází jinak ale když jsem psal zápočet tak tam takový příklad byl a určitě cvičící nechtěl aby se to dělalo přes nějaký vzoreček protože nám jej neukazoval

Rumburak

↑ poly-filip:

Bohužel tam máš chyby, většinou spíše formálního rázu, ve výsledku ses zřejmě upsal (EDIT: mezitím již opraveno).
Substituce $t=\sin x$ , tj. $\mathrm{d}t=(\sin x)'\,\mathrm{d}x=\cos x\,\mathrm{d}x$ , dává

$\int \cos^{3}x\,\mathrm{d}x= \int (1-\sin^2x) \cos x\,\mathrm{d}x = \int (1-t^2) \,\mathrm{d}t = t-\frac{t^{3}}{3} + C = \sin x-\frac{\sin^{3}x}{3} + C$ .

O správnosti se můžeme přesvědčit zderivováním výsledku - měli bychom tím dojít zpět k výchozí funkci $\cos^{3}x$ .

EDIT : Že se výsledek dá pomocí goniometrických vzorců upravit i do jiných tvarů, toť druhá věc.

K těm chybám:

Není možné provádět substituci jen "částečně" - v jednom substitučním kroku nutno podrobit subsituci VŠECHNY výrazy s proměnnou x.
Podle které proměnné je další integrace míněna, je vyznačeno diferenciálem oné proměnné ( $\mathrm{d}x, \mathrm{d}t$ ) - podle mých zkušeností se vyplatí
ho u integrálů uvádět, jak to zavedli "klasikové" (tj. pokud se proměnné vypisují, jako zde; v opačném případě by samozřejmě šlo místo
$\int f(x)\,\mathrm{d}x$ resp. $\int f(t)\,\mathrm{d}t$ a pod. psát pouze $\int f$ , jak se někdy činí ).

jarrro · 02. 01. 2012 16:44

obidva tvary sú dobre integrály môžu vyjsť na "pohľad rozdielne",ale líšia sa nanajvýš o konštantu zvlášť pri goniomterických funkciách sú časté na pohľad rôzne výsledky pritom správne

poly-filip · 02. 01. 2012 17:01

ano udělal jsem chybu v tom že jsem integroval po rozdělení integrálu $\int_{}^{}1 dt$ jako $\int_{}^{}1 dx=x$ což je špatně protože integrujeme podle $dt$ . Když jsem dosazoval nazpátek naší substituci tak jsem dosazoval špatně. už jsem opravil a snad to už je dobře. takže se dá použít substituce u $\int_{}^{} sin^{3}x$ $y=cosx$ ?
(musím uznat že integrály jsou docela chuťovka)

xfastx · 02. 01. 2012 17:04

Jo mělo by to fungovat

Rumburak

↑ poly-filip:
To $1 - t^2$ v integrálu čtvrtém zleva bych ještě dal do závorky, když se to celé pak "násobí" výrazem $\mathrm{d}t$ .

V integrálu třetím zleva už untegruješ podle t a stále tam máš cos x . Vzhledem k tomu, že cos x je tam jak v "čitateli" tak i ve "jmenovateli"
a celkem se vykrátí, není to podle mne (z hlediska ještě formálnějšího) vyložene chyba, ale nevypadá to zrovna "profesionálně" :-).

poly-filip · 02. 01. 2012 17:39

↑ Rumburak: opraveno a snad už to vypadá trochu "profesionálně " :D občas zapomínám na závorky když je integrál ve tvaru $\int_{}^{} (a - b) dx$ (neberu $dx$ jako hodnotu (číselnou)) ale je pravda že tam je násobení a podle práce se závorkami je něco jiného $a-b*c$ a $(a-b)*c$

Rumburak

↑ poly-filip:
Nerad rejpu :-), ale toto

(1) $\int_{}^{}cosx*(1-sin^{2}x)=\int_{}^{}cost*(1-t^{2})*\frac{dt}{cost}$

stále ještě není "profesionální" . Logika tohoto kroku je

$\int \underline{\cos x}\,(1-\sin^2x) \,\underline{\mathrm{d}x} =\int (1-\sin^2x)\, \underline{\cos x\,\mathrm{d}x} = \int (1-t^2) \,\mathrm{d}t$ ,

protože podtržený výraz $\cos x\,\mathrm{d}x$ je roven $\mathrm{d}t$ . Násobit integrand a zároveň dělit ho ať již tím cos x nebo cos t nemá žádný důvod.

Rovnost $\cos x\,\mathrm{d}x = \mathrm{d}t$ sice můžeme vnímat ve tvaru $\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{\cos x}$ , ale vzniklý výraz $\cos x\cdot (1-t^2) \,\frac{\mathrm{d}t}{\cos x}$
měl být vykrácen dřív, než byl zapsán (jak by provedl profesionál :-) ).

Snad bychom se do toho takto nezamotali, kdybys v levém integrálu v (1) měl uveden diferenciál $\mathrm{d}x$ ,

Honzc · 03. 01. 2012 10:49 — Editoval Honzc (03. 01. 2012 11:05)

↑ poly-filip:
Samozřejmě, že existují rekurentní vztahy pro výpočet takovýchto integrálů:
$\int_{}^{}sin^{n}(ax)dx=-\frac{sin^{n-1}(ax)\cdot cos(ax)}{n\cdot a}+\frac{n-1}{n}\int_{}^{}sin^{n-2}(ax)dx$
$\int_{}^{}cos^{n}(ax)dx=\frac{cos^{n-1}(ax)\cdot sin(ax)}{n\cdot a}+\frac{n-1}{n}\int_{}^{}cos^{n-2}(ax)dx$
podle kterých to lze vyřešit
Ale jednoduše: (podle tvého značení)
pro $a=2k+1$ (liché číslo, k=1,2...) se jednoduše dá substituce
$sinx=t(cosx=t)$ a využije se toho, že $cosxdx=dt(-sinx=dt)$
a také toho, že $cos^{2k}x=(cos^{2}x)^k=(1-sin^{2}x)^k=(1-t^{2})^k$ (obdobně pro
$sin^{2k}x=(sin^{2}x)^k=(1-cos^{2}x)^k=(1-t^{2})^k$ ), což pak vede na jednoduché integrály
pro $a=2k$ (sudé číslo, k=1,2...) se postupuje tak, že se využívá vztahů
$(sin^2x)^k=(\frac{1-cos2x}{2})^2 , (cos^2x)^k=(\frac{1+cos2x}{2})^k$ ,
to se jednoduše umocní a pořád tak dokola (budou tam i integrály s lichým exponentem).

vanok · 03. 01. 2012 11:10

Ahoj ↑ Honzc:,
A este mame toto
Integraly $\int \sin(t)^p\cos(t)^q dt$ (cf.la règle de Bioche)

sa daju pocitat vdaka

Ak p a q sont neparne, tak pouzite u = cos 2t ;
Ak p je neparne a q parne, tak pouzite u = cos t ;
Ak p je parne a q neparne, tak pouzite u = sin t ;
Inac nam neostava nic ine ako linearizacia.

Matematické Fórum

#1 02. 01. 2012 14:34

integrál cos^3(x)

#2 02. 01. 2012 15:06 — Editoval Rumburak (02. 01. 2012 15:06)

Re: integrál cos^3(x)

#3 02. 01. 2012 16:00 — Editoval poly-filip (02. 01. 2012 17:29)

Re: integrál cos^3(x)

#4 02. 01. 2012 16:13

Re: integrál cos^3(x)

#5 02. 01. 2012 16:37

Re: integrál cos^3(x)

#6 02. 01. 2012 16:43 — Editoval Rumburak (02. 01. 2012 17:03)

Re: integrál cos^3(x)

#7 02. 01. 2012 16:44

Re: integrál cos^3(x)

#8 02. 01. 2012 17:01

Re: integrál cos^3(x)

#9 02. 01. 2012 17:04

Re: integrál cos^3(x)

#10 02. 01. 2012 17:13 — Editoval Rumburak (02. 01. 2012 17:15)

Re: integrál cos^3(x)

#11 02. 01. 2012 17:39

Re: integrál cos^3(x)

#12 03. 01. 2012 10:06 — Editoval Rumburak (03. 01. 2012 10:38)

Re: integrál cos^3(x)

#13 03. 01. 2012 10:49 — Editoval Honzc (03. 01. 2012 11:05)

Re: integrál cos^3(x)

#14 03. 01. 2012 11:10

Re: integrál cos^3(x)

Zápatí