Matematické Fórum

fojjta · 06. 01. 2012 16:18 — Editoval fojjta (06. 01. 2012 16:42)

Množina bodů má od bodu $A[-6,0]$ dvakrát větší vzdálenost než od přímky p: $x+1=0$ .
Tedy $|AX|=2|Xp|$ .
Měli jsme použít způsob, který nás napadne a najít tak tuto množinu, která tvoří kuželosečku.
Díky předchozím zkušenostem mě bylo umožněno použít tento nápad:
Zkusím spočítat libovolné dva body, které v této množině leží. První a nejjednodušší bod bude $X_{1}=[-\frac{8}{3},0]$ . Pro druhý jsem se rozhodl použít vzorec $X_{k}=[\frac{x_{a}-\lambda x_{b}}{1-\lambda },\frac{y_{a}-\lambda y_{b}}{1-\lambda }]$ kde v tomto případě $\lambda =-2$ . Dále ze zadání víme, že $x_{a}=-6$ , $y_{a}=0$ a $x_{b}=-1$ . Tzn. že souřadnice x v bodě $X_{k}$ je konstanta $x_{k}=\frac{-6-2}{1+2}$ . Z toho jsem vyvodil, že hledanou množinou je přímka v: $x=-\frac{8}{3}$ . Překvapením pro mě bylo, že tento výsledek správný není.

V tomto příkladě neprosím o ukázání jiného řešení, teď už ho znám, ale spíše o analýzu mého způsobu, tj. proč je nesprávný.

Hanis · 06. 01. 2012 16:29

Ahoj, označme hledaný bod X=[x;y]
Jeho vzdálenost od přímky p je tedy $\frac{1x+0y+1}{\sqrt{1^2+0^2}}=x+1$
Vzdálenost tohoto bodu od bodu A je $\sqrt{(-6-x)^2+(0-y)^2}=\sqrt{36+12x+x^2+y^2}$
A tato vzdálenost má být dvakrát větší:
$\sqrt{36+12x+x^2+y^2}=2(x+1)$
Stačí upravit.

fojjta · 06. 01. 2012 17:03 — Editoval fojjta (07. 01. 2012 17:08)

Díky za snahu, ale tohle opravdu není to, co potřebuji, tento postup, jak jsem psal výše, znám (navíc tam je chyba), snažím se tu objasnit můj postup.

fojjta · 07. 01. 2012 17:00

Prosím poraďte mi, znovu jsem nad tím několikrát přemýšlel a celý postup se mi stále zdá správný. Jediná nová věc která mě napadla je, že lambda by mohla být také $\lambda =2$ pro bod mimo úsečku $Ap$ . Jenže tak bych znovu dostal přímku, tentokrát $v': x=4$ .

jelena · 09. 01. 2012 00:18

↑ fojjta:

Zdravím,

pokud je to ještě aktuální - podle popisu v úvodním příspěvku jde o maskovanou definici paraboly (pokud doplním, že od zadané přímky p má množina dvojnásobnou vzdálenost oproti vzdálenosti od řídící přímky).

Tedy měl by se vytvořit předpis této paraboly. Podaří se dokončit? Děkuji.

fojjta · 09. 01. 2012 00:39

Ahoj,
ve skutečnosti to bude hyperbola, ale na to jsem přišel až ve škole, po mém neúspěšném pokusu. Z mého postupu lze dojít jen k umístění ohnisek a středu hyperboly (pokud na to budu hned pohlížet jako na hyperbolu). Jak jsem psal již dříve, rád bych se dozvěděl chybu v mé úvaze, učebnicové postupy chápu.

jelena · 09. 01. 2012 12:45

↑ fojjta:

děkuji, téma jsem našla při procházení nedořešených témat (podle posledního příspívajícího). Postup v úvodním příspěvku neokomentuji, jelikož mu opravdu nerozumím.

Mně se to jako hyperbola nejeví, ale uvažovala jsem jen velmi zběžně. Možna, pokud máš čas a náladu, stalo za to umístit sem správné řešení (ze školy).

Moc jsem nepomohla, tak snad někdo z kolegů. Děkuji.

vanok · 09. 01. 2012 12:59

POZNAMKA:
"geometricke" problemy je dobre zacat obrazkom
aj geoalgebra existuje... a moze ti dat dobre indikacie

Na zjednodusenie vypoctov v probleme, mozes zmenit suradnicovy system (repère),

fojjta · 09. 01. 2012 14:47

↑ jelena:
Učebnicový/(běžný školní) postup je ten, který už výše předvedl Hanis. Vychází se tam ze vzorce $d=\frac{|am_{1}+bm_{2}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ . Pokud pokračuji ve výpočtu, naleznu rovnici hyperboly: $\frac{9}{100}(x-\frac{4}{3})^{2}-\frac{3}{100}y^{2}=1$ .
I po vykreslení je vidět, že se o hyperbolu jedná:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 9%5E2+plot

jelena · 09. 01. 2012 22:54

↑ fojjta:

děkuji za umístění řešení, už je mi to jasné.

Wotton · 10. 01. 2012 13:31

↑ fojjta:

No já vidím 3 chyby. Jedna je nepodstatná, a to že správně má být $X_{1}=\left[-\frac{8}{3},0\right]$ ,

a ta druhá je podstatnější, totiž že vztah $X_{k}=\left[\frac{x_{a}-\lambda x_{b}}{1-\lambda },\frac{y_{a}-\lambda y_{b}}{1-\lambda }\right]$ platí pouze pro bod ve vzdálensotí od dvou bodů v daném poměru, s tím že výsledný bod leží na stejné přímce jako dané body. Což zde není splněno.

Třetí opět nepodstatná chyba je v dosazení -2 za Lambda (neotočení znamínka), což souvisí s první chybou.

fojjta · 10. 01. 2012 22:59

↑ Wotton:
Díky za reakci,
1. chybu nechápu, i přes správnou rovnici se to dá ověřit.
ad 2: Jakto, že bod na úsečce/přímce neleží? První bod úsečky je roven vždy A a druhý bod úsečky (pokud hledám body vlevo, tj. mezi body $\lambda =-2$ ) bude ležet na přímce p. Tedy mám i x-ovou souřadnici druhého bodu úsečky a poměr udávající kde bude X na úsečce ležet. Pokud budu chtět hledat body na pravé straně, použiji $\lambda =2$ a stejné známé body.
ad 3: také nechápu, použít lze přeci jak zápornou tak kladnou hodnotu, viz ad 2
Prosím o vysvětlení, díky.

vanok · 11. 01. 2012 00:45 — Editoval vanok (11. 01. 2012 00:46)

↑ vanok:,
Pokracujem v mojej poznamke, specialne pre amaterov transformacie suradnicoveho afineho systemu (repère affine)
Poznamka: ak najprv skusime riesit probleme na realnej osy

mame takuto konfiguraciu:

.... $S_2$ ........... $O$ .... $D$ ... $S_1$ ..... $A$ .......

kde $A$ je dany bod; $D$ bod danej priamky (taky ze $AD\perp$ z danou priamkou) $S_1$ , $S_2$ riesenie problemu na nasej osy
A konecne $O$ stred $[S_1S_2]$ , ktory vyberieme za pociatok suradnic.
Cize na tejto afinej osy mame suradnice $S_1(4); S_2(-4);O(0);D(2); A(8)$

Toto nas prirodzene vedie k afinemu suradnicovemu ortonormalnemu systemu z pociatkom $O$ a osou x predoslu os na ktorej som riesil zjednoduseny problem.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

A co je mimoriadne zaujimave ze v tomto afinom systeme suradnic riesenie sa najde vo velmi jednoduchej forme....a aby sme mali rovnicu v povodnom systeme, staci urobit jednu translaciu a rotaciu .

Wotton · 11. 01. 2012 10:23

↑ fojjta:

K první chybě, ... bohužel jsem to zapomněl opravit, má to být $X_{1}=\left[-\frac{4}{3},0\right]$ . Každopádně, není pravda, že $\left|-\frac{8}{3}-\left(-6\right)\right|=2\cdot\left|1-\left(-\frac{8}{3}\right)\right|$

Ke třetí chybě. Sice je pravda, že bys moh použít $\lambda =2$ pak bys byl ale na druhé straně přímky. Problém ale je v tom, že jsi v čitateli zlomku znaménko neotočil a ve jmenovateli otočil. Takže jsi vlasntě nepoužil ano jedno.

No a teď to zásadní. Tak jak to děláš, to je vlastně tak, že vezměš (libovolný) bod na přímce p a bod A a najdeš bod který leží na jejich spojnici ve správném poměru. Tímto postupem opravdu získáš přímku (přesněji 2 přímky. Jednu pro lambda kladné a druhou pro záporné). Jenže vzdálenost od přímky p se přece určuje jinak!

Tak snad už to trklo, ... kdyžtak zas něco připíšu.

Rumburak

Ahoj.

Zadání podané v ↑ fojjta:

fojjta napsal(a):
Množina bodů má od bodu $A[-6,0]$ dvakrát větší vzdálenost než od přímky p: $x+1=0$ ..[/b]

nevede k jednoznačnému výsledku .
Dalším řešením je např. kružnice (tedy rovněž kuželosečka) o středu [-3, 0] a poloměru 1 , jejíž vzdálenost od bodu A je 2
a od dané přímky 1 .

Připadá mi, že kružnic v polorovině x < -1 řešících tuto úlohu by se dalo nalézt nekonočně mnoho. (Kde budou ležet jejich středy ?)

Nebo jsem zadání pochopil blbě ?

Wotton · 11. 01. 2012 11:15

↑ Rumburak:
Ahoj

Obávám se že ano, že jsi to pochopil blbě, .... tedy příliš doslova.

Asi by bylo lepší to formulovat takhle:

fojjta napsal(a):
Nalezněte množinu bodů jež mají od bodu $A[-6,0]$ dvakrát větší vzdálenost než od přímky p: $x+1=0$ .

Rumburak · 11. 01. 2012 11:22

↑ Wotton:

Já matematické formulace chápu doslova, tak mě to aspoň učili. :-)

vanok · 11. 01. 2012 13:56

Ahoj ↑ Rumburak:,
Staci riesit analyticky v v jednoduchom "repère" ↑ vanok:, ktory som popisal tu a lahko najdes kompletne riersenie problemu.

Rumburak · 11. 01. 2012 14:20

↑ vanok:
Ahoj, děkuji za nabídku. Tvé řešení jistě bude zajímavé a později se na ně v klidu podívám - teď bohužel mám frmol jinde.

Rumburak · 13. 01. 2012 16:53

↑ vanok:

Ahoj kolego,

bohužel hned na začátku Tvé úvahy

vanok napsal(a):
mame takuto konfiguraciu:

.... $S_2$ ........... $O$ .... $D$ ... $S_1$ ..... $A$ .......

kde $A$ je dany bod; $D$ bod danej priamky (taky ze $AD\perp$ z danou priamkou) $S_1$ , $S_2$ riesenie problemu na nasej osy
A konecne $O$ stred $[S_1S_2]$ , ktory vyberieme za pociatok suradnic.
Cize na tejto afinej osy mame suradnice $S_1(4); S_2(-4);O(0);D(2); A(8)$

se ztrácím:

Co jsou ony body (?) " $S_1$ , $S_2$ riesenie problemu na nasej osy" ? Kterou osu zde máš na mysli ? A kterou úlohu řešíš ? Hledáš

množinu, která má od bodu A dvojnásobnou vzdálenost než od přímky p,

jak napsal autor tématu, nebo

množinu, které mají od bodu A dvojnásobnou vzdálenost než od přímky p ?

jak se to nakonec "zvrtlo" ?

vanok · 13. 01. 2012 18:21

↑ Rumburak:
Dakujem, ze sa zaujimas o ine ako vraj oficialne riesenia ( i ked su pre ziakov urcite casto nepochopitelne) .

Odpoved na tvoje male otazky

Os co som vybral je kolma na danu priamku ... ( a osa symetrie ...hladaneho geometrickeho miesta bodov ... )
Ako vidim sa ti to tazko cita...( asi dovod toho ze v CZ a SK nepoznam ich terminologiu ...a sa vyjadrovat popisne je unavne )
Bod D je vlastne "stopa" z priamky ...
Vsak jednoducha analyza problemu ti da prirodzene moj vyber suradnicoveho systemu.

A ak si pozorne cital co pisem riesim ulohu ako chcel autor textu.

MYSLIENKA JE ZE PRACA V NEVHODNOM "REPERE" DA ZBYTOCNU ROBOTU
A V MOJOM "REPERE" SA ULOHA RIESI ZA 3, 4 MINITY MAXIMALNE.... a potom transformacie "REPEROv" sa ucia uz tri roky pred maturitou tak nevidim preco by sa nemali pouzivat.

Ale cestu k rieseniu aku si niekdo vyberie to nie je moja vec.

Inac kde sa najde po CZ, SK nejaka ebook, alebo online o AFINEJ GEOMETRII ( co urcuje pouzivanu terminologiu)...

Rumburak · 13. 01. 2012 22:13

↑ vanok:
Děkuji za vysvětlení.

Geometrii bohužel pořádně neumím , ani pokud jde o terminogii. Nedavno jsem narazil na NETu na nějaká česká skripta
(snad stavební fakulty ?) pojednávající o afinní geometri a připadala mi celkem slušně napsaná - třeba je také najdeš.
Myslím, že jsem tehdy hledal heslo "konvexní obal" .

vanok · 14. 01. 2012 00:05

↑ Rumburak:,
To ma ani velmi neprekvapuje... ked som bol este v CS, tak uz vtedy geometria bola ako ubohe dieta matematiky...

Rumburak · 16. 01. 2012 09:17

↑ vanok:
Ano, tentýž dojem mám i já.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2012 16:18 — Editoval fojjta (06. 01. 2012 16:42)

Vyšetřování množiny bodů

#2 06. 01. 2012 16:29

Re: Vyšetřování množiny bodů

#3 06. 01. 2012 17:03 — Editoval fojjta (07. 01. 2012 17:08)

Re: Vyšetřování množiny bodů

#4 07. 01. 2012 17:00

Re: Vyšetřování množiny bodů

#5 09. 01. 2012 00:18

Re: Vyšetřování množiny bodů

#6 09. 01. 2012 00:39

Re: Vyšetřování množiny bodů

#7 09. 01. 2012 12:45

Re: Vyšetřování množiny bodů

#8 09. 01. 2012 12:59

Re: Vyšetřování množiny bodů

#9 09. 01. 2012 14:47

Re: Vyšetřování množiny bodů

#10 09. 01. 2012 22:54

Re: Vyšetřování množiny bodů

#11 10. 01. 2012 13:31

Re: Vyšetřování množiny bodů

#12 10. 01. 2012 22:59

Re: Vyšetřování množiny bodů

#13 11. 01. 2012 00:45 — Editoval vanok (11. 01. 2012 00:46)

Re: Vyšetřování množiny bodů

#14 11. 01. 2012 10:23

Re: Vyšetřování množiny bodů

#15 11. 01. 2012 11:06 — Editoval Rumburak (11. 01. 2012 11:09)

Re: Vyšetřování množiny bodů

fojjta napsal(a):

#16 11. 01. 2012 11:15

Re: Vyšetřování množiny bodů

fojjta napsal(a):

#17 11. 01. 2012 11:22

Re: Vyšetřování množiny bodů

#18 11. 01. 2012 13:56

Re: Vyšetřování množiny bodů

#19 11. 01. 2012 14:20

Re: Vyšetřování množiny bodů

#20 13. 01. 2012 16:53

Re: Vyšetřování množiny bodů

vanok napsal(a):

#21 13. 01. 2012 18:21

Re: Vyšetřování množiny bodů

#22 13. 01. 2012 22:13

Re: Vyšetřování množiny bodů

#23 14. 01. 2012 00:05

Re: Vyšetřování množiny bodů

#24 14. 01. 2012 08:31 Příspěvek uživatele Sultana Shimu03 byl skryt uživatelem jelena. Důvod: spam

#25 16. 01. 2012 09:17

Re: Vyšetřování množiny bodů

Zápatí