Matematické Fórum

simonaj1 · 03. 02. 2012 14:50

Ahoj, potřebovala bych ověřit, jestli jsem postupovala dobře a jestli mám dobře spočítáno, bohužel nemám čas na TeXování, takže vkládám jako obrázek:

vanok · 03. 02. 2012 18:41

Ahoj ↑ simonaj1:,
Si si ista ze $x_1$ je spravne vypocitane?

simonaj1

↑ vanok:
není, chyba na mém přijímači, špatné znaménko, výsledek $x_1=-\frac{7}{4}$

ale šlo mi především o zvolený postup? ten je správný?

vanok · 03. 02. 2012 19:27 — Editoval vanok (03. 02. 2012 19:29)

Pokusim sa najprv vseobecne vyjasnit co moze znamenat pojem "suradnice funkcionalu"

Tak najprv trocha teorie: (iste ste to takto videli aj na prednaske)

Bud dana jedna basa priestoru $E$ , $( \dim E=n )$ suradnice vektoru $x\in E$ sa pisu vo forme stlpcoveho vektoru:

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$ .
A opacne , linearna forma alebo kovektor je representovany riadkovym vektorom z $n$ suradnicamy :

$\phi = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix}$ .

Takze mozme pisat vo forme vektoroveho sucinu:

$\phi(x) = \begin{pmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \phi_i x_i$ .

Od tialto je lahko posudit tvoju metodu.
V standardnej base tvoja linearna forma je dana vektorom $(4;-1;1)$
a v novej baze je ???

simonaj1 · 03. 02. 2012 20:50

↑ vanok: $(-\frac{7}{4}, -\frac{1}{4}, -\frac{7}{2})$

vanok · 03. 02. 2012 22:02

↑ simonaj1:,
Pomoc:
Obraz vektoru $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}$
je
$f(e_1)=4$

Obraz vektoru $e'_3=-e_1$ je -4
ale podla toho co pises to nesedi!

simonaj1 · 04. 02. 2012 08:25

tak teď z toho nejsem vůbec moudrá?! myslela jsem že budu mít:
$l_{1}^{'}*x_{1}+l_{2}^{'}*x_{2}+l_{3}^{'}*x_{3}=f$ , ale pochopila jsem z tvé poslední "nápovědy", že to mám špatně.
píšeš, že obraz vektoru $e'_3=-e_1$ = -4, ale nechápu proč obrzem pro "trojku" je "jednička"
jeslti to chápu, kanonická baze jsou vektory $l_1(1,0,0), l_2(0,1,0), l_3(0,0,1)$

$\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}*x_1+\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}*x_2+\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}*x_3=\begin{pmatrix} 4 \\ -1\\ 1\end{pmatrix}$ >> $x_1=4, x_2=-1, x_3=1$ takže V_x pro kanonickou bazi je (4, -1, 1)
ale dál fakt nevím...

vanok · 04. 02. 2012 09:34 — Editoval vanok (04. 02. 2012 09:38)

↑ simonaj1:,

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Najprv 3 vseobecne poznamky:
1)Treba mat vzdy na mysli, ze obraz toho isteho vektoru aplikaciou f je vzdy ten isty (inac by f nebola dobre definovana)
2)Pouzitie roznych baz na napisanie jedneho vektoru, znamena, ze ho raz pises ako linearnu kombinaciu jednej alevo druhej bazy.
3)Obraz linearnej kombinacie vektorov, jednou linearnou applikaciou je "analogicka" linearna kombinacia obrazov vektorov.

V tvojom priklade to znamena:

$f(x_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix})=$ $x_1f(\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0\end{pmatrix})+x_2f(\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix})+x_3f(\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix})=$ $x_1f(e_1)+x_2f(e_2) +x_3f(e_ 3)= 4x_1-x_2+x_3$
lebo
$f(e_1)=4\\f(e_2)=-1\\f(e_ 3)=1$
co mozes vyjadrit aj takto
$4$ je $f(e_1)$ obraz vektoru $e_1$ , standarnej bazy
$-1$ je $f(e_2)$ obraz ...

To preto mozes pisat ze $(f(e_1);f(e_2);f(e_ 3))$
cize $(4;-1;1)$ je kovektor $f$ vo standardnej baze.

A teraz musis urobit to iste z vektormy baze $e'_1;e'_2;e'_ 3$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Tak vdaka vsetkym poznamkach mas teraz ozaj vsetko

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

na riesenie problemu
Treba najst $(f(e'_1);f(e'_2);f(e'_ 3))$
No to uz dokazes sama

simonaj1

↑ vanok: tekže v nové bazi je lineární forma dána vektorem (-1, 13, -4) ?,

vanok · 04. 02. 2012 10:12

↑ simonaj1:
Nie.
Ako si to pocitala?
Prestuduj si este raz co som pisal.
Ake skripta pouzivas? Co studujes?

simonaj1 · 04. 02. 2012 10:21

↑ vanok: žádná skripta, jen výpomoc kamarádce, která neumí s maticemi vůbec, naposled jsem tuhle matiku měla před 3 roky a tohle jsme tam neměli, takže vůbec nevím kudy do toho... bohužel jsem funkcionál ve skriptech, která mám nenašla (ČVUT), ani na netu nic z čeho bych byla moudřejší a zatím se topím i v tvém výkladu

simonaj1 · 04. 02. 2012 10:41

↑ simonaj1:

takže ještě jeden pokus (0,13, -4)

počítala jsem $x_1*l'_1 + x_2*l'_2 + x_3*l'_3$
4*1 + (-1)*3 + 1*(-1) = 4-3-1 = 0 (předtím početní chyba)
4*3 + (-1)*(-1) + 1*0 = 12+1+0= 13
4*0 + (-1)*4 + 1*0 = 0-4+0 = -4

vanok · 04. 02. 2012 10:50

↑ simonaj1:,
Ano, potom nie je to jednoduche pre teba... ale asi by bolo lepsie, aby tvoja priatelka sama ukazala napr tu na fore, co su jej skutocne tazkosti.
Inac, co studujes, ja to volam linearna forma... v tomto presmon pripade.

Urcenie: $(f(e'_1);f(e'_2);f(e'_ 3))$
Treba pouzit, ze $e'_1=(1;3;0)$ v standarnej baze.
Tak mame jednoducho $f(e'_1)=4*1-1*3+1*0=1$
Podobne $e'_2=(3;-1;4)$ a tak $f(e'_2)=4*3-1*(-1)+1*4=17$
A na koniec $e'_3=(0;0;-1)$ a tak $f(e'_3)=4*0-1*0+1*(-1)=-4$

Cize tvoj kovektor $(f(e'_1);f(e'_2);f(e'_ 3))$ v novej baze sa pise
$(1;17;-4)$