Matematické Fórum

Ginco · 13. 10. 2008 20:34 — Editoval Ginco (13. 10. 2008 20:36)

Ahoj všem...chtěl bych poradit, tedy jetli by byl někdo tak moc laskavý a nakopl by mě...

Mame posloupnost $a_n=\frac{2^n}{15n}$

určete index n takový, aby splňoval $a_n=\frac{262144}{75}$

nevím, uda v tom nehledám něco obtížného...zkoušel jsem to přes křížové pravidlo a následné logaritmování...dík

jelena · 13. 10. 2008 20:57 — Editoval jelena (14. 10. 2008 09:12)

↑ Ginco:

Zdravím :-)

edituji, ten můj nápad není OK, špatně jsem se divala na zadání :-( omlovám se

Editace 2: ještě doplnim postup - graficky:

po úpravě

(2^n)/(2^18)=n/5

2^(n-18)=n/5

abych se vyhla debate o tom, jak vypada graf posloupnosti, použiji funkci 2^(x-18)=x/5 , vysledek ovšem budu hledat pouze v přirozených číslach (levá strana je funkce exponenciální, prava - lineární, 2 body pruniku - nalevo a napravo od x=18. Z porovnání levé a pravé strany rovnice platí, že, pokud řešení v přirozených čislách existuje, pak x má být ve tvaru 5*2^k)

lukaszh · 13. 10. 2008 21:06

Ja by som to riešil takto, neviem to síce dokonči?, len ak by ?a to nakoplo:
Zrejme zlomok a_n nebude v základnom tvare tak jeho čitateľ i menovateľ zapíšem ako násobky nejakého čísla k:
$\frac{262\,144k}{75k}=\frac{2^n}{15n}\,;\,\, n,k\in\mathbb{N}$
Teraz budem porovnáva? zvláš?...
... čitatele:

... menovatele:

Dostal som rovnos? no vyhovuje mi tam len číslo k=4. Neviem to nejako rieši?, ale potom vychádza n=20:

Ginco · 13. 10. 2008 21:32 — Editoval Ginco (13. 10. 2008 21:32)

díky doplnit si tam to k mě nenapadlo, teď už to lze asi jen numericky(podle mě)
$k=2^{5k-18}$
$k=2^{5(k-3,6)}$ uvažuji k na prave straně rovnice...k musí být přirozené číslo větší než 3,6;první takové číslo je 4, tak ho zkusím a vyjde to...větší než 3,6 to musí být, protože kdyby bylo menší, tak by se mi znaménko exponentu změnilo na mínus a tedy by se mi výraz na pravé straně zmenšoval, ale pokud někdo ví víc a líp, tak bych byl vděčny, každopádně děkuji Lukaszhovi

Pavel Brožek

↑ Ginco:

Použiji Lambertovu funkci W.

$\frac{2^n}{15n}=\frac{262144}{75}\nl \frac{2^n}{n}=\frac{262144}{5}\nl n\cdot2^{-n}=\frac{5}{262144}\nl n\cdot\mathrm{e}^{-n\cdot\ln2}=\frac{5}{262144}\nl -n\cdot\ln2\,\cdot\mathrm{e}^{-n\cdot\ln2}=-\frac{5\ln2}{262144}$

Z toho máme dvě řešení:

$-n_1\cdot\ln2=W_0$-\frac{5\ln2}{262144}$\nl n_1=\frac{W_0$-\frac{5\ln2}{262144}$}{-\ln2}\nl n_1=20$

a

$-n_2\cdot\ln2=W_{-1}$-\frac{5\ln2}{262144}$\nl n_2=\frac{W_{-1}$-\frac{5\ln2}{262144}$}{-\ln2}\nl n_2\approx0,000019073738498601143517$

Jedná se o index posloupnosti, který je zřejmě přirozený, proto n=20.

(Ale jak zjistit, že $W_0$-\frac{5\ln2}{262144}$=-20\ln2$ nevím, na to jsem použil program :-)

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2008 20:34 — Editoval Ginco (13. 10. 2008 20:36)

určení indexu posloupnosti

#2 13. 10. 2008 20:57 — Editoval jelena (14. 10. 2008 09:12)

Re: určení indexu posloupnosti

#3 13. 10. 2008 21:06

Re: určení indexu posloupnosti

#4 13. 10. 2008 21:32 — Editoval Ginco (13. 10. 2008 21:32)

Re: určení indexu posloupnosti

#5 13. 10. 2008 23:35 — Editoval BrozekP (13. 10. 2008 23:41)

Re: určení indexu posloupnosti

Zápatí