Matematické Fórum

Mildik15 · 04. 04. 2012 21:30

Je zadána rovnice: X^2-2x+9+6i=0 (výsledek by měl být x1= 3i a x2=2-3i) neustále mi ale vychází -3i a 2+3i - netuším, kde je chyba. D= -32-24i v goniometrickém tvaru 40*(-32/40-24/40i) ------> 40*(-4/5-3/5i)
Potřebuju druhou odmocninu z D = √40*(-1/√40-3√40i) podle vzorce sin x/2=√1-cosx/2 atd...
Odmocnina z D mi vyšla -2-6i

Předem díky za pomoc

jelena · 04. 04. 2012 23:23

Zdravím,

vyznat se v Tvém postupu bohužel příliš nedá. Zde bych použila rozklad na součin: upravím $x^2-2x+9+6\mathrm{i}=0$ na
$x^2+9-2x+6\mathrm{i}=0$
$(x+3\mathrm{i})(x-3\mathrm{i})-2(x-3\mathrm{i})=0$ podaří se dokončit? Děkuji.

Rumburak

↑ Mildik15:

I když kolegyně Jelena , již zdravím :-), úlohu úspěšně vyřešila pomocí rozkladu, pokusím se vrátit na správnou cestu Tvůj postup.

Je potřeba nalézt obě imaginární "odmocniny" z diskriminantu $D= -32-24\,\mathrm{i}=40\left(-\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\,\mathrm{i}\right)$ .
Ten je ještě správně včetně úpravy na součin jeho abs. hodnoty s komplexní jednotkou, ale hodnota $-2-6\,\mathrm{i}$ pro jeho odmocninu
už správná není, jak se lze přesvědčit zkouškou.

Je potřeba tedy vyřešit binomickou rovnici $z^2 = -\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\,\mathrm{i}$ , ostatní už bude triviální. Na pravé straně poslední rovnice je
komplexní jednotka, takže můžeme položit $z = \cos t + \mathrm{i}\,\sin t$ , dle Moivreovy věty pak $z^2 = \cos 2t + \mathrm{i}\,\sin 2t = -\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\,\mathrm{i}$ ,
odtud $\cos 2t = -\frac{4}{5}$ , $\sin 2t = -\frac{3}{5}$ . Tuto soustavu pomocí vzorců $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$ , $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
převedeme na

(1) $\cos^2 t - \sin^2 t = -\frac{4}{5}$ ,

(2) $2 \sin t \cos t = -\frac{3}{5}$ .

Z (1) pomocí "goniometrické jedničky" obdržíme $1 - 2\sin^2 t = -\frac{4}{5}$ a odtud $\sin t = \pm \frac {3}{\sqrt{10}}$ , $\cos t = \pm \frac {1}{\sqrt{10}}$ ,
což dává celkem 4 základní (tj. v intervalu $[0, 2\pi)$ ) řešení samotné rovnice (1) , z nichž rovnice (2) vybírá pouze taková, kde hodnoty
$\sin t , \cos t$ se liší znaménky. Celá soustava (1), (2) má tak pouze 2 základní řešení:

$\cos t = \frac {1}{\sqrt{10}} \wedge \sin t = - \frac {3}{\sqrt{10}}$ resp. $\cos t = -\frac {1}{\sqrt{10}} \wedge \sin t = \frac {3}{\sqrt{10}}$ .

Hodnotu argumentu $t$ nepotřebujeme, její goniom. funkce nám pro dořešení úlohy stačí.

zdenek1 · 05. 04. 2012 10:48

↑ Mildik15:
Ještě dodatek :-)
Jelenino řešení je elegantní a Rumburakovo obecné, ale u školních příkladů se vždy vyplatí podívat se , jestli se diskriminant nedá zapsat pomocí vztahu $(a\pm b)^2$
Takže konkrétně:
$D=-32-24i=-4(8+6i)=-4(9+2\cdot3\cdot i+i^2)=[2i(3+i)]^2$
a zbytek už je snadný

jelena · 05. 04. 2012 16:15

↑ Rumburak:, ↑ zdenek1:

děkuji, opravdu potěšilo :-) Také zdravím a děkuji za podrobné rozbory.

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2012 21:30

Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

#2 04. 04. 2012 23:23

Re: Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

#3 05. 04. 2012 10:35 — Editoval Rumburak (05. 04. 2012 14:30)

Re: Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

#4 05. 04. 2012 10:48

Re: Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

#5 05. 04. 2012 16:15

Re: Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty

Zápatí